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Soluciones de los ejercicios del examen de Análisis Matemático
Primer curso de Ingeniería Informática - septiembre de 2005

Ejercicio 1. Calcular las dimensiones (radio y altura) del depósito demáximo volumen formado por un
cilindro circular recto cerrado en sus dos extremos por semiesferas cuya superficie total es igual a 2π m 2 .
Solución. Llamemos r al radio y h a la altura del cilindro.La superficie total del depósito es 2πrh + 4πr 2
4
y su volumen es πr 2 h + 3 πr3 . Nos dicen que 2πrh + 4πr 2 = 2π, de donde se sigue que h = 1/r − 2r. Por
tanto el volumen es igual a
4
2
πr2(1/r − 2r) + πr3 = π r − r3
3
3

=

π
3r − 2r3
3

Se trata, pues, de calcular el máximo absoluto de la función f (r) = 3r − 2r 3 donde r > 0. Como
√
f (r) = 3 − 6r2 , el único punto delintervalo ]0, +∞[ donde se anula la derivada es r = 1/ 2. Se tiene que
√
√
f (r) = −6(r2 − 1/2) = −6(r + 1/ 2)(r − 1/ 2)
√
√
por lo que f (r) > 0 para 0 < r < 1/ 2 y f (r) < 0 para r > 1/ 2. Portanto f es creciente en el
√
√
intervalo ]0, 1/ 2] y decreciente√ el intervalo [1/ 2, +∞[. Concluimos que en el intervalo ]0, +∞[ la
en
función f alcanza en el punto 1/ 2 un máximo absoluto.
√
Lasdimensiones del depósito de máximo volumen en las condiciones del enunciado son r = 1/ 2
√
√
y h = 2 − 2/ 2√ 0. Esto es, el depósito de máximo volumen en las condiciones del enunciado es una
=esfera de radio 1/ 2 metros.
Ejercicio 2. Calcula el área de las dos partes en que la parábola y 2 = 4x divide al círculo x2 + y2 = 8.
Solución.
Hay que calcular los puntos de intersección de laparábola y de la circunferencia. Para ello calculamos la
raíz positiva de la ecuación x2 + 4x − 8 = 0 que es
√
α = −2 + 2 3. Los puntos de intersección son, por
√
√
tanto, (α, 2 α) y (α, −2 α).Teniendo en cuenta la
simetría, para calcular el área de la parte azul del círculo es suficiente calcular el área de la región comprendida entre la circunferencia y la parábola cuando x ∈ [0, α], es...