Matemática Discreta

Apuntes de Matem´atica Discreta
1. Conjuntos y Subconjuntos

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Octubre de 2004

Universidad de C´
adiz

Departamento de Matem´
aticas

ii

Lecci´
on 1

Conjuntos y Subconjuntos
Contenido
1.1

Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Determinaci´
on por Extensi´on . . . . . . . . .
1.1.3 Determinaci´
on por Comprensi´
on . . . . . . .
1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Conjunto Vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Axioma de Extensi´
on . . . . . . . . . . . . .
1.2 Inclusi´
on de conjuntos . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Inclusi´
on Estricta . . . . .. . . . . . . . . . .
1.2.3 Proposici´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Proposici´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Caracterizaci´
on de la Igualdad . . . . . . . .
1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Transitividad de la Inclusi´
on . . . . . . . . .
1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . .

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Un conjunto es lareuni´
on en un todo de objetos de nuestra intuici´
on o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables
los unos de los otros.
Georg Cantor (1845-1918)

El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matem´aticas modernas. La mayor´ıa de los
matem´aticos creen que es posible expresar todas las matem´aticas en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos.
Nuestro inter´es enlos conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matem´aticas como a su
utilidad en la modelizaci´
on e investigaci´
on de problemas en la inform´atica.
Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor1 . Despu´es de que la
teor´ıa de conjuntos se estableciera como un ´area bien definida de las matem´aticas, aparecieron contradicciones o paradojas en lamisma. Para eliminar tales paradojas, se desarrollaron aproximaciones
m´as sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teor´ıa de conjuntos se
ocupa, generalmente, de la teor´ıa elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor.
Utilizaremos esta aproximaci´
on m´
as simple y desarrollaremos una teor´ıa de conjuntos de la cual es posible
1Georg Cantor. Matem´
atico alem´
an de origen ruso (San Petesburgo 1845-Halle 1918). Despu´
es de estudiar en Alemania,
fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribi´
o numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser el
creador de la Teor´ıa de los conjuntos.

1

Universidad de C´
adiz

Departamento de Matem´
aticas

derivar contradicciones. Parece extra˜
no elproponerse tal cosa deliberadamente, pero las contradicciones
no son un problema si, como es nuestro caso, el universo del discurso se define convenientemente. A´
un
m´as, la existencia de las paradojas en la teor´ıa elemental no afecta a la validez de nuestros resultados ya
que los teoremas que presentaremos pueden demostrarse mediante sistemas alternativos en los que las
paradojas no...