MATEMÁTICAS AVANZADAS I

MATEMÁTICAS AVANZADAS I
M. En C. José Antonio Cuatepotzo Varela
jose_ac_varela@hotmail.com
Cel: (045)-55-18-96-28-66
10/Enero/2014

MATEMÁTICAS AVANZADAS I
1. Algebra Lineal
1.1 Transformaciones Lineales
Definición de Transformación Lineal
Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio
vectorial W es una función de V en W, T: V  W, que es lineal, esto es para
todo u,v  V ytodo a,b  R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.
Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a
 R y todo u,v  V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu +
Tv.
En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones
lineales de un espacio vectorial V en sí mismo.

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1. Algebra Lineal
Para distinguir el vector cero de V delvector cero de W y del número 0, se
indicará con 0V el vector cero de V, y con 0W el vector cero de W.
Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de
0V es 0W, pues:
T0V = T(00V) = 0T0V = 0W
 
Para todo espacio V, la función identidad, I: V  V, que a todo vector v 
V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se
indicará esta transformación con lanotación IV cuando sea necesario
distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial.

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1. Algebra Lineal
Propiedades y Generalidades
Dados dos espacios vectoriales V y W, se dice que la función T : V → W es
una transformación lineal de V en W, si y solo si,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Propiedad aditiva)
T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V ytodo λ ∈ R. (Propiedad homogénea)

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1. Algebra Lineal
Es importante aclarar que se esta denotando de la misma forma la suma y
el producto por escalar definidos tanto en el espacio vectorial V como en
el espacio vectorial W, así sean operaciones diferentes. Igualmente, al
vector 0 de V y al de W los denotamos igual, así sean vectores diferentes.
Las propiedades que caracterizana una transformación lineal nos
permiten demostrar que la imagen de una combinación lineal de vectores
por medio de una transformación lineal es la combinación lineal de las
imágenes de los vectores con los mismos coeficientes de la combinación
lineal inicial.
La demostración consiste básicamente en aplicar la propiedad aditiva
iteradamente y luego aplicar la propiedad homogénea a cada sumando.MATEMÁTICAS AVANZADAS I
1. Algebra Lineal
Teorema 1 [Transformación lineal de combinaciones lineales].
Sean T : V → W una transformación lineal, v1, v2, . . . , vn vectores de V y
λ1, λ2, . . . , λn escalares de R.
Entonces,

De este resultado, se tiene trivialmente que una transformación lineal
asigna al vector cero del dominio, el vector cero del codominio.

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1. AlgebraLineal
Teorema 2 [Caracterización de la igualdad de transformaciones lineales].
Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V y T : V → W y
S : V → W dos transformaciones lineales.

Teorema 3 [Determinación de una transformación lineal].
Si B = {v1, v2, . . . , vn} es una base del espacio vectorial V , existe una
única transformación lineal

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1. AlgebraLineal
Ejemplo: Realizar la siguiente transformación lineal:
T(x,y,z)=(x-y+3z;-x+2y-z;2x-y-8z)
Determinamos la matriz asociada y aumentada; resolvemos por Gauss:

x  y  3z a
1 1 3 a 1 0 5
2a  b
 x  2 y  z b   1 2  1 b  0 1
2
a b
2 x  y  8 z c
2  1  8 c 0 0  16  3a  b  c
El sistema es consistente; igualamos a cero para poder comprobar su
nulidad

1 0
0 1

5 0 1 0 00
2 0 0 100

0 0  16 0

0 0 10

 0
 
 0  0
 0
 

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1. Algebra Lineal
Núcleo e Imagen de una transformación lineal
Núcleo: Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el
subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero
en W.

Imagen: Sea T : V → W una transformación lineal. El rango o imagen de T
es el conjunto de todas las imágenes de T en...