Matemáticas Discretas

UNIDAD I
SISTEMAS NUMÉRICOS Y MÉTODOS DE CONTEO.
1.1 SISTEMAS NUMÉRICOS
Digito: Es un signo que representa una cantidad contable. Dependiendo del sistema de numeración, serán los diferentes signos que se tenga para representar cualquier cantidad.
Numero: Es la representación de una cantidad contable por medio de uno o más dígitos.
Sistema de Numeración: Es un conjunto de dígitos que sirvenpara representar una cantidad contable.
El nombre del sistema de numeración que se trate serán los diferentes dígitos posibles para tal representación.
Así también los sistemas de numeración se les llama base, de tal manera que el sistema de numeración binario, también se le llama base 2.
A continuación se ejemplifican estas definiciones con los sistemas numéricos más comúnmente
usados en lainformática que son:

Base | Sistema | Dígitos |
2 | Binario | 0, 1 |
8 | Octal | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
10 | Decimal | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
16 | Hexadecimal | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |

El Sistema Binario.
Es el Sistema de numeración que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales. Se basa en la representación decantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por lo tanto, la base es 2 (Numero de dígitos del sistema).
Cada dígito de un número representado en este sistema se denomina Bit (Contracción de Binary Digit).

Conversión de números de Sistema Decimal a Binario
Considera el número decimal 25
a) Dividir el número seleccionado entre 2 hasta que ya no se pueda dividir.
b) Coloca los residuos (1 o 0) dederecha a izquierda empezando por el primero obtenido y adicionando el ultimo cociente al final (último número a la izquierda).
c) Obtener el numero en sistema numérico binario (11001)

Ejemplo Convertir (25)10 a base 2, 8 y 16.
Para este proceso se formará el siguiente arreglo de divisiones sucesivas entre la base
Para base 2:

División entre 2 | Cociente | Residuo |PrimeraSegundaTerceraCuartaQuinta | 2512631 | 10011 |
Es decir, 25 d = 11001 b

Para convertir de binario a decimal o hacer la comprobación, el método puede ser simplificado de la siguiente manera:

a) Anote (de ser posible mentalmente) los “pesos” o potencias de 2 correspondientes a las posiciones de los bits del número a convertir.
b) Luego, simplemente, sume los pesoscorrespondientes a las posiciones de los bits 1.

Para ello es conveniente memorizar algunas potencias de 2:
Posición | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Peso | 211 | 210 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
valor | 2048 | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |

En el ejemplo anterior: 11001 b = 16+8+1 = 25d
2,870d = 101100110110b =2048+512+256+32+16+4+2= 2870
Ejemplo Convertir los siguientes números de binario a decimal: N1= (101101)2, N2= (1010110)2

Para N1: pesos: 32 16 8 4 2 1
N1 = ( 1 0 1 1 0 1 )2

Sumando los pesos correspondientes a los bits 1, N1=32+8+4+1 = 4510

Para N2: pesos: 64 32 16 8 4 2 1
N1 = (1 0 1 0 1 1 0 )2

Entonces N2 = 64+16+4+2 = 8610

Conversión entre Decimal y Octal, y Decimal y Hexadecimal
Para hacer una conversión el camino más sencillo es convertir el número decimal a binario y después de binario a octal o hexadecimal.

Binario a octal

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:
1) Agrupe la cantidad binaria en gruposde 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
Número en octal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de...