Matematcias

La operación de la potenciación en los números complejos se simplifica mucho si se recurre a la representación gráfica de estos números en el plano cartesiano. Si $ z=a+bi$, se identifica a $ z$ con el par ordenado $ (a,b)$ y se representa como un punto en el plano cartesiano de la manera usual (ver figura de la derecha).


También puede representarse como el vector con origen en el punto $(0,0)$ y extremo en el punto $ (a,b)$. (ver figura de la izquierda)

El módulo de un número complejo se define como la longitud del vector del plano que se obtiene como su representación gráfica. Se denota: módulo de $ z=\vert\vert z\vert\vert$ Si $ z=a+bi$, $ \vert\vert z\vert\vert=\sqrt{a^2+b^2}$ Esta representación gráfica permite obtener otra forma de determinar a un número complejo dado. Esla llamada forma trigonométrica o forma polar. Dado el número complejo $ a+bi$, representado por el vector $ (a,b)$ del plano cartesiano, se observa que ese vector queda totalmente determinado por 2 datos:

El ángulo $ \alpha$ que forma el vector con el eje de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.
El módulo de $ (a,b)= \vert\vert a+bi\vert\vert$

Sisólo se conoce el dato del ángulo $ \alpha$ que forma un número complejo con el eje de las abscisas, sólo se sabe que dicho número será alguno de los vectores que están en la semirrecta de la figura de la izquierda.
Por otra parte, si de un número complejo $ z$, se conoce sólo el módulo, digamos $ \vert\vert z\vert\vert=r$, sólo se puede asegurar que está en la circunferencia de radio $ r$ que estácentrada en el origen.


Pero si tenemos los dos datos mencionados, hay un único número complejo con esas características. Por ejemplo, si el número complejo $ z$ forma un ángulo de $ 30^\circ$ con el eje de las abscisas y $ \vert\vert z\vert\vert=2$, entonces la representación gráfica de $ z$ es la que se muestra a la izquierda.

$\displaystyle OA=\vert\vert z\vert\vert=2$

Como $ OAB$es un triángulo rectángulo, se sabe que:

$\displaystyle \frac{OB}{OA}=\cos{30^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Como $ OA=2$,
$\displaystyle OB=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}$
Por otra parte,
$\displaystyle \sen{30^\circ}=\frac{AB}{OA}$

Así,
$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{AB}{OA}$

$\displaystyle \quad\quad\frac{OA}{2}=AB$
es decir, $ AB=1$. En otras palabras, el númerocomplejo $ z$ tiene parte real igual a $ \sqrt{3}$ y parte imaginaria igual a 1:
$\displaystyle z=\sqrt{3}+i$

y efectivamente,
$\displaystyle \vert\vert z\vert\vert= \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2$

Se observa en este ejemplo lo siguiente:

$\displaystyle z=\sqrt{3}+i$
$\displaystyle \quad \sqrt{3}=2\cos{30^\circ}$
$\displaystyle 1=2\sen{30^\circ}$

Puede escribirse entonces:$\displaystyle z=2\cos30^\circ+(2\sen30^\circ)i$
ó
$\displaystyle \quad z=2(\cos30^\circ+i\sen30^\circ)=\vert\vert z\vert\vert(\cos30^\circ+i\sen30^\circ)$

Esta última es la llamada forma polar del número complejo $ z$. En ella quedan explícitos los datos del ángulo que forma $ z$ con el eje de las abscisas y su módulo. En general, un número complejo en forma polar se escribe así:
$\displaystylez=r(\cos\alpha+i\sen\alpha),$

donde $ r\geq 0$, $ r=\vert\vert z\vert\vert$ y $ \alpha$ es el ángulo que forma $ z$ con el eje de las abscisas.



Para encontrar la forma polar de un número complejo a partir de su forma binómica, hay que observar lo siguiente: Si $ z=a+bi$, por ser $ Oaz$ un triángulo rectángulo, se tiene:

$\displaystyle \frac{Oa}{Oz}=\cos\alpha$ y $\displaystyle\quad\quad\frac{az}{Oz}=\sen\alpha$
Pero el segmento $ Oa$ tiene medida $ a$, $ az$ tiene medida $ b$ y $ Oz=\vert\vert z\vert\vert$. Así,

$\displaystyle \frac{a}{\vert\vert z\vert\vert}=\cos\alpha$
$\displaystyle \quad\quad\frac{b}{\vert\vert z\vert\vert}=\sen\alpha$
ó
$\displaystyle \quad a=\vert\vert z\vert\vert\cos\alpha$
$\displaystyle \quad\quad b=\vert\vert z\vert\vert\sen\alpha$...