matematica III

MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN
UNIDAD I
UNIDAD II
UNIDAD III
UNIDAD IV
UNIDAD V
UNIDAD VI
REFUERZO
UNIDAD III


SUCESIONES
Objetivo general.-determinar el comportamiento local y global de funciones cuyos dominios son los números naturales conocidas como sucesiones, e identificar las condiciones, los problemas que se pueden modelar mediante progresiones aritméticas y geométricas.

Unasucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.
En muchos problemas cotidianos se presentan sucesiones, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ...., 29, 30}; o bien cuando por alguna razón se tiene solamente al conjunto de los números pares {2, 4, 6, 8, 10, ... } ; o quizás los nones {1, 3, 5, 7, 9, ... } , etc.De cualquier forma, existe siempre una regla bajo la cual se forma el siguiente elemento de la sucesión apartir del primero. En el caso del conjunto de los pares y también de los nones, la regla es sumar 2 al último número formado. La primera parte del estudio de las sucesiones consistirá en descubrir por simple intuición cuál es dicha regla.

Ejemplo 1: Investigar la regla de formación de lasiguiente sucesión:

7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, .....  

Solución:    Puede verse fácilmente que cada número se forma sumando 3 al que le precede, por lo queesa es la regla.

Ejemplo 2: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...  

Solución:     En este ejemplo la sucesión está formada por los cuadrados de cada número natural.

Ejemplo 3: Investigar laregla de formación de la siguiente sucesión: 

Solución:     Aquí cada número corresponde a la mitad del que le antecede. Esa es la regla.

Ejemplo 4: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión: 

Solución: En este caso cada numerador corresponde a la sucesión de los números naturales mientrasque los denominadores son los cuadrados de 2, 3, 4, 5, 6, etc.

ELEMENTO GENERAL DE LASUCESIÓN

El siguiente paso en el estudio de las sucesiones es encontrar una manera de escribir matemáticamente laregla de formación de una sucesión determinada, una vez que por intuición, como se hizo en el tema anterior, se descubrió ésta. A dicha fórmula se le llama elemento general de la sucesión, ya que a partir de él se pueden formar uno por uno todos los demás elementos.El elemento general de la sucesión debe ser una función de n , en donde n solamente puede tomar va- lores enteros positivos, de tal manera que cuando se le dé el valor de n = 1 , al sustituir en la fórmula se obtenga el primer elemento; que cuando n = 2 , al sustituir en la fórmula se obtenga el segundo elemento; que cuando n = 3 , al sustituir en la fórmula se obtenga el tercer elemento; y así sucesivamente.Para obtener el elemento general cuando la regla de formación de la sucesión es sumar una cantidad fija, basta seguir estos dos pasos:

a) Poner como coeficiente de n a esa cantidad que se suma;

b) agregar un segundo término independiente de  n, llamado  desplazamiento, que es la cantidad que hace falta sumar al primer término de la fórmula para que cuando n = 1 se obtenga el primerelemento.

Ejemplo 1: Deducir la fórmula del elemento general de la siguiente sucesión:

5, 7, 9, 11, 13, 15, ...
Solución: Se trata de los números nones a partir del 5, lo que significa que la regla de formación de estasucesión es sumar 2. Por lo tanto, el primer término de la fórmula es 2n.

Para encontrar el segundo término de la fórmula buscada, o sea el desplazamiento, basta hacer n =1 en2n, lo que da  2(1) = 2  y comparar con el primer elemento de la sucesión dada que es el  5 . La conclusión es que hay que sumar 3 al resultado obtenido en 2(1) para llegar al 5 (primer elemento), el cual es el desplazamiento. Por lo tanto, el elemento general es
an   = 2n +3
COMPROBACIÓN:
para
se obtiene
que es el
n = 1
a1 = 2(1) + 3 = 5
primer elemento
n = 2
a2 = 2(2) + 3 = 7...