matematicas discreta propiedades binarias

Matemática Discreta (1028)

UNLaM

Elementos de lógica proposicional: conectores,
leyes lógicas. Sintaxis y semántica.
RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS IMPARES
Página 86 de la guía de ejercicios
E-1
-Sean p y q los enunciados:
p: Estamos bajo cero
q: Nieva
Escriba los enunciados siguientes usando p, q y conectores lógicos:
1.1-Estamos bajo cero y nieva
pΛq
1.2-Estamos bajo cero, pero no nieva p Λ ¬q1.3-No estamos bajo cero y no nieva ¬p Λ ¬q
1.4-Bien estamos bajo cero o bien nieva (o ambas cosas) p ν q
1.5-Si estamos bajo cero entonces también nieva p  q
1.6-Estamos bajo cero o nieva, pero no nieva si estamos bajo cero
(p ν q) Λ (p  ¬q)
1.7-Que estemos bajo cero es necesario y suficiente para que nieve p  q
E-3
- Construir las tablas de verdad, para cada caso indicar si es tautología,contradicción o
contingencia:
3.1 (p  q)  r
(p
q)
r


V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
CONTINGENCIA: una proposición compuesta que unas veces es verdadera y otras
falsa dependiendo del valor de verdad de las proposiciones simples involucradas
3.2 [(p  q)  p]  q
[(p
V
F
Ing.Marcela Bellani


V
V

q)
V
V


V
F

p]
V
F


V
V

q
V
V
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V
F

F
V

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F
F

F
F

V
F

V
V

F
F

TAUTOLOGÍA: una proposición compuesta que es siempre verdadera
3.3 p  [¬ (p  q)]
p
V
F
V
F


F
F
F
F

[¬
F
F
F
V

(p
V
F
V
F


V
V
V
F

q)]
V
V
F
F

CONTRADICCIÓN: una proposición compuesta que es siempre falsa
3.4 (p q)  (p  q)
(p
V
F
V
F


V
V
F
V

q)
V
V
F
F


V
F
V
F

(p
V
F
V
F


V
F
F
F

q)
V
V
F
F


V
V
V
VV
V
V
V

(p
V
F
V
F
V
F
V
F


F
V
F
F

¬ p)]
F
V
F
V

CONTINGENCIA
3.5 [(p  q)  (q  r)]  (p  r)
[(p
q)
(q


V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F


V
V
V
V
F
F
V
V

r)]
V
V
V
V
F
F
F
F


V
V
V
V
F
V
F
V

TAUTOLOGÍA

r)
V
V
V
V
F
F
F
F

3.6 ¬ [¬ p  ¬ (q  ¬ p)]
¬
[¬p
F
F
F
V
F
F
F
V

Ing.Marcela Bellani


V
V
V
V

¬
V
F
V
V

(q
V
V
F
F

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CONTRADICCIÓN
E-5
- Para las siguientes proposiciones compuestas dar todos los posibles valores de verdad
de las proposiciones simples de modo que resulten falsas:
5.1 [(p  q)  r]  (s  t)
V ([(p  q)  r]  (s  t)) = F

por lo tanto

V ([(p  q)  r]) = V y V ((s  t)) = F

De donde V (p)=V; V (q)=V ; V(r)=V; V(s)=F ;V (t)=F
5.2 [p  (q  r)]  (s t)
V ([p  (q  r)]  (s  t))= F

por lo tanto V ([p  (q  r)]) = V y V ((s  t)) = F

De donde V (p)=V; V (q)=V; V(r)=V; V(s)=F y V (t)=V ó V(s)=F y V (t)=F ó V(s)=V y
V (t)=V
E-7
-Comprobar la equivalencia entre la implicación y la contrarrecíproca
(p
V
F
V
F


V
V
F
V

q)
V
V
F
F


V
V
V
V

¬q
F
F
V
V


V
V
F
V

¬p
F
V
F
V

E-9
-Utiliza tablas de verdad para verificar las siguientesequivalencias :
9.1 - p  V ≡ p
p
V
p


V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
9.2 - p  F = F
p
V
F


F
F

F
F
F


V
V

F
F
F

9.3 - p  q = q  p

Ing.Marcela Bellani

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(p
V
F
V
F


V
V
V
F

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q)
V
V
F
F


V
V
V
V

(q
V
V
F
F


V
V
V
F

p)
V
F
V
F

q)
V
V
F
F


V
V
V
V

(¬p
F
F
V
V


F
F
F
V

¬q)
F
V
F
V

9.4 - ¬ (p  q)  (¬ p  ¬ q)
¬
F
F
F
V

(p
V
F
V
F


VV
V
F

E-11
- Simplificar las siguientes expresiones:
11.1 ¬ [¬ p  ¬ (q  ¬ p)]
¬ [¬ p  ¬ (q  ¬ p)]¬[¬p  ( ¬q  p)]p  ¬( ¬q  p)p  (q  ¬p)(p  ¬p)  q
1.
2.
3.
4.
=V q =V
5.
6.
1. Ley de De Morgan
2. Ley de De Morgan e Involución
3. Ley de De Morgan e Involución
4.Conmutativa.Asociativa
5. Ley de contradicción
6. Ley de identidad
11.2 ¬ [p  (¬ p  q)]
¬ [p  (¬ p  q)][¬p  ¬(¬ p q)] ¬p  (p  ¬q) (¬p  p)  (¬p  ¬q) 
1.
2.
3.
4.
F (¬p  ¬q) (¬p  ¬q)
5.
1. Ley de De Morgan
2. Ley de De Morgan e involución
3. Ley distributiva
4. Ley de contradicción
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5. Ley de identidad (elemento neutro)
11.3 ¬ [¬ p  ¬ (q  ¬ p)]
¬ [¬ p  ¬ (q  ¬ p)]  p  (q  ¬ p)  (p  ¬p)  q  F  q  F
1.
2.
3.
4.
1....