Matematicas Discretas

Matemáticas Discretas
Unidad I: Lógica y Algebra Booleana

Predicados
Los predicados son sentencias abiertas, en las que se 
incluyen  una  o  más  variables.  También  se  les  llama 
función proposicional.
Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos, si no 
se especifican los valores de las variables. 
Un predicado se convierte en una proposición cuando todas las variables que aparecen en  él, se remplazan 
por opciones permisibles del universo de discurso.
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Predicados
Los predicados se representan por símbolos  del tipo 
p(x), q(x) o p(x,y), q(x,y,z), etc.
Por ejemplo:   
  Si p(x) = x > 3,  p(x) se convierte en proposición al 

sustituir x por algún número natural.
 p(4) es Verdadera.
 p(2) es Falsa.Matemática Discretas ­ Semestre B­2006

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Cuantificadores
Otra forma de crear una proposición o de cerrar una 
función proposicional abierta, es la Cuantificació n.
Una proposición abierta se cierra, si todas sus  
variables se cuantifican.
Trataremos con dos tipos de cuantificadores:
 Cuantificador Existencial 
 Cuantificador UniversalMatemática Discretas ­ Semestre B­2006

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Cuantificador Existencial
Denota que existe “al menos” un elemento x del Universo, 
para el cual p(x) es verdadera. 
Usamos la notación: 
∃x p(x)
ó
∃x ∃y  p(x,y) ⇔ ∃x, y p(x,y)   

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Cuantificador Existencial
Formas de expresarlo:
 “Hay un x”
 “Para algún x”
 “Para al menos un x ”
 “Existe un x tal que”Es verdadera, si existe al menos un elemento x del 
universo tal que p(x) sea verdadera. Es falsa si no existe 
ninguno. 
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Cuantificador Existencial
Por  ejemplo:
Si p(x) es “x > 3”
Cerramos p(x) al escribir ∃x p(x), donde el universo 
consiste en todos los números reales. 
Siempre debemos denotar el universo de discurso, pues para algunos universos puede ser cierta y para 
otros no.  
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Cuantificador Universal
Denota que una propiedad es verdadera para todos los 
valores de una variable en un universo particular.
p(x)  es  verdadera,  para  todos  los  valores  de  x  en  el 
dominio. 
Usamos la notación: 
∀x p(x)
ó
∀x ∀y  p(x,y) ⇔ ∀x, y p(x,y)   
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8Cuantificador Universal
Formas de expresarlo:
 “Para todo x”
 “Para cada x ”
 “Para cualquier x”
 “Para todo x, y”
 “Para todos x y y”

Es verdadera, si para cada reemplazo de x, p(x) es 
verdadera. Es falsa si existe al menos un x para el cual 
p(x) es falsa. 
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Cuantificador Universal
Por  ejemplo:
 Si P(x) es “x + 1”Cerramos p(x) al escribir ∀x p(x), donde el universo son 
todos los números reales. 
 Si p(x) es “x > 3” y el universo son todos los números 

reales. Entonces, ∀x p(x) es falsa.

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Traducción de oraciones de lenguaje 
natural a lenguaje formal
Puede haber diferentes formas de traducir una           
frase particular.1) Reescribimos la proposición, de forma que podamos 
identificar con claridad los cuantificadores que debemos 
utilizar.
2) Introducimos las variables
3) Introducimos los predicados
4) Definimos el dominio.

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Traducción de oraciones de lenguaje 
natural a lenguaje formal
Por ejemplo:  “Todo estudiante de esta clase vive en Mérida”1) Reescribimos la proposición: 
“Para todo estudiante de esta clase, ese estudiante 
vive en Mérida” 
2) Introducimos las variables: 
“Para todo estudiante x de esta clase, x vive en Mérida”
3) Introducimos los predicados: 
p(x) es “x vive en Mérida”
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Traducción de oraciones de lenguaje 
natural a lenguaje formal
4) Definimos el dominio: ...