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FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisoresde una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.


TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Con los tres términos positivos
x2 +  6x  +  9 = (x + 3)2
x            3
    2.3.x
      6x
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo.
Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por elsegundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

EXPLICACIÓN:
1) ENCONTRAR DOS TÉRMINOS QUE SEAN "CUADRADO":
Los términos de este trinomio que son "cuadrado" de algo son la x2 y el 9 . Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es el cuadrado" de 3 (ya que 32 es igual a 9).
El término"6x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 6 no tiene raíz cuadrada, y x no es una potencia par.
2) "BAJAR" LAS BASES:
Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los cuadrados de ese polinomio, como dice en el paso anterior.
Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados respectivos, a modo de anotación, más que nada para guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vealo que quisimos hacer. Pero en realidad no es parte del resultado, y no sería obligación ponerlo caso de que no nos estén evaluando (serviría como "justificación" en ese caso).
3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS BASES":

Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta manera:

2.x.3      ("Dos por x por 3")

Éso es "el doble producto de las bases" . Y el resultado es: "6x"

2.x.3 =6x     

Ahora miro el polinomio y veo que en él "está 6x".  (x2 + 6x + 9). Es decir, que el término que no es cuadrado, es 6x. Coincide con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser así para que se pueda factorizar con este Caso.
Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "doscuadrados", y "el doble producto de las bases". Y eso viene de la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Pero en esta parte sólo trato de explicar "cómo se hace" y no "de dónde viene".
4) EL RESULTADO DE LA FACTORIZACIÓN:
(x + 3)2
El resultado es "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Es decir, pongo "x" y "3" sumando entre paréntesis, y elevado a la potencia 2.





DIFERENCIA DE CUADRADOS
x2 -9 = (x + 3).(x - 3)

x     3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3.Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases”.
EXPLICACIÓN:
Es una resta de dos términos que son cuadrados

x2 es el cuadrado de x

9 es el cuadrado de 3

1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3
. Esto es simplemente una anotación, y no forma parte dela factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.

2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(x + 3).(x - 3)         SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".

Factor común.
Para comenzar, comparemos lasmultiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que:Cuando factorizamos
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común,Aquí tenemos como hacerlo:
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