Matematicas Y Medicina Presentacion 1

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Matemáticas y Medicina
Ángel Martín del Rey
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Salamanca
delrey@usal.es

Bachillerato
 de
 Inves1gación,
 I.E.S.
 “Vaguada
 de
 la
 Palma”,
 18
 de
 diciembre
 de
 2013

Introducción
• Las Matemáticas son de gran utilidad en múltiples disciplinas de la
Medicina:
‣ Epidemiología (propagación de enfermedades infecciosas).
‣Farmacocinética.
‣ Diseño de prótesis.
‣ Planificación y evaluación de planes de control y prevención.
‣ Control y análisis de experimentos clínicos.
‣ Impacto económico de las medidas sanitarias.
‣ Etc.
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 Mar1n
 del
 Rey,
 2013

Introducción
• La Modelización Matemática es una de las ramas de las Matemáticas
de mayor uso en Medicina.
• Grosso modo, el objetivo fundamental de laModelización Matemática
es la descripción, simulación y predicción del comportamiento de
fenómenos de todo tipo.
Interpretación

Problema
existente en el
mundo real

Resultados y
Conclusiones

Simplificación

Modelo de
Trabajo

Simulación

Representación

Modelo
Computacional

Modelo
Matemático

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Implementación

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Introducción
• ¿Qué buscamos con un modelomatemático?
‣ Representación matemática de un determinado fenómeno de tal
forma que su análisis teórico y numérico proporcione información
para entender mejor los mecanismos que lo rigen.
‣ Implementación computacional para poder realizar simulaciones.
• ¿Cuál es el interés de la modelización matemática?
‣ Interés académico: estudio de las propiedades matemáticas del
modelo y sus implicaciones.
‣Interés práctico: dotar al gestor de una herramienta informática que
permita predecir comportamientos y tomar decisiones de control.
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Aplicaciones: Cardiología
Simulación del flujo sanguíneo por venas y arterias.
Determinación de la mejor forma de redireccionar
el flujo sanguíneo ante una obstrucción arterial

Simulación de la actividad eléctrica en elcorazón

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Aplicaciones: Oncología
• Análisis de los niveles de los biomarcadores
cancerígenos en sangre.

• Simulación del crecimiento de tumores.

• Planificación de la medicación anticancerígena.

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Aplicaciones: Diseño de prótesis
• Simulación y construcción de superficies 3D:

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 Rey,
 2013Aplicaciones: Imágenes Médicas
• Procesamiento digital de imágenes médicas

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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• La Epidemiología Matemática es la disciplina científica que se ocupa
del diseño y análisis de modelos matemáticos que simulen la
propagación de las enfermedades infecciosas.
• La modelización matemática de la propagación de enfermedadesinfecciosas trata de dar respuesta a las siguientes preguntas:
‣¿Cuál será el alcance final de la epidemia?
‣¿Cuál será el efecto de las medidas de
prevención y de control tomadas?
‣¿Qué medida tomada será más eficiente y
eficaz?
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• El primer modelo epidemiológico de carácter matemático apareció en
1760 y es debido a DanielBernoulli.
• Estudiaba la propagación de la viruela.

• Estaba basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

(

)

⎧ u '(t) = − λ (t) + µ (t) u(t)
⎪
⎨
⎪⎩ w'(t) = 1 − c(t) λ (t)u(t) − µ (t)w(t)

(

)

u(0) = 1
w(0) = 0
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• En 1906, W.H. Hamer propuso un modelo matemático discreto para
estudiar lapropagación del sarampión.
‣ Hamer sugiere que la evolución de una epidemia depende de la tasa
de contacto entre los individuos susceptibles de contraer la
enfermedad y los individuos infectados con capacidad de
transmitirla (individuos infecciosos).
‣ Este principio de acción de masas establece que la
incidencia (número de nuevos casos por unidad de
tiempo) es proporcional al producto de la densidad
de...