Matematicas92

TRIGONOMETRÍA
La palabra “trigonometría” deriva del griego y significa “medida del triángulo”. De hecho
esta rama de la Matemática se desarrolló inicialmente, estudiando las relaciones entre los
ángulos y lados de un triángulo, por ejemplo, las llamadas funciones trigonométricas, las
que pueden ser consideradas como funciones cuyos dominios son ángulos o cuyo dominio
son los números reales,en este último caso se les conoce como funciones circulares.
1. ÁNGULOS
Ángulo (lo abreviaremos con el signo p ) es el conjunto de puntos generado por la rotación
de una semirrecta alrededor de su extremo, desde una posición inicial (“lado inicial”) hasta
una final (“lado final”). El extremo de la semirrecta se llama vértice del ángulo.
lado final

vértice

O

lado inicial

Un ánguloes positivo si la rotación es en el sentido contrario a los punteros del reloj; en
caso contrario es negativo.
Las unidades de medida más frecuentes de un ángulo son : grado sexagesimal y radián. En
el sistema sexagesimal el ángulo (completo) obtenido por una rotación completa de la
semirrecta en el sentido positivo, tiene una medida de 360º. Así, un grado (1º) es 1/360 por
la medida de unángulo completo. Un grado se divide en 60 partes iguales, llamadas
minutos (′), y cada minuto se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos (″).
Para definir los radianes se considera el arco s intersectado por el p α sobre una
s
circunferencia unitaria de centro O (O = vértice del p α) y radio r. Se sabe que
es una
r
constante que sólo depende de α.
s
α
r

Definición 1.1: Si r = 1,la medida en radianes de α es αrad = s. Es decir, la medida en
radianes de un p α es la medida del arco que α intercepta sobre la circunferencia unitaria.

Si αº es la medida en grados sexagesimales de α, se tiene la siguiente relación:
α rad
αº
=
π
180º
Por ejemplo: 1 radián ≈ 57,3º y 1º ≈ 0,0175 radianes.
Las equivalencias más usuales son:
αº
αrad

0º
0

30º
π/6

45º
π/460º
π/3

90º
π/2

120º
2π/3

180º
π

270º
3π/2

360º
2π

La medida de un ángulo no se limita a valores comprendidos entre 0º y 360º (0 y 2π en
radianes), si la semirrecta que genera el ángulo rota alrededor de su extremo en más de una
vuelta en el sentido positivo, la medida del ángulo será mayor que 360º (mayor que 2π
radianes). Si la rotación es en el sentido de los punterosdel reloj, la medida será negativa.
Conclusión: cada número real es la medida en radianes de un ángulo.
Nota: Si t es la medida del arco que subtiende un ángulo del centro α en una circunferencia
t
de radio r, se tiene que la medida en radianes de α es .
r
Ejercicios resueltos:
1.- Convertir a radianes: a) 75º , b) – 450º, c) 45,22º
Solución: a) 75º =

75π 5π
=
radianes
180 12

b)– 450º = −

450π
5π
=−
radianes
180
2

c) 45,22º ≈ 0,251π radianes
2.- Convertir a grados sexagesimales: a) −

Solución: a) −

7π
radianes, b) 1,72 radianes.
12

7π
7π 180
radianes = −
= - 105º
12
12 π

b) 1,72 radianes ≈ 98,55º = 98º 33′

3.- Calcular la medida del arco s que subtiende un ángulo del centro α de 135º en una
circunferencia de radio r = 12 cm.
Solución:αrad =

π
3π
3π
135º =
. Luego s = r αrad = 12
≈ 28,3 cm.
180º
4
4

4.- Si el ángulo del centro α subtiende un arco de 4 cm en una circunferencia de diámetro
14 cm, encontrar la medida aproximada de α en radianes y grados.
Solución: αrad =

s 4
= radianes
r 7

αº =

4 180
⋅
≈ 32,74º = 32º 44′
7 π

5.- Expresar el área de un sector circular en términos del radio y el ángulocomprendido.
Solución: Si r es el radio de la circunferencia
y A, α y s denotan el área, el ángulo y la
longitud del arco del sector circular, de la
geometría sabemos que “las áreas de los
sectores son entre sí como los arcos comprendidos, es decir,
A : πr2 = s : 2πr ⇒ A =

s
r
α
O

1
2

sr ⇒ A = r αrad r

∴ A = 1 r2 αrad
2
6.- El minutero de un reloj mide 12 cm. ¿Qué...