Matemáticas discretas(conversiones y operaciones)

1.1.- SISTEMAS NUMÉRICOS

Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal, etc. Estos se caracterizan por tener una base (número de dígitos diferentes: diez, dos, ocho, dieciséis respectivamente) 

Decimal (10 dígitos)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Binario (2 dígitos)=0,1

Octal(8 dígitos)=0,1,2,3,4,5,6,7

Hexadecimal (16 dígitos)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F


¿Cual es el significado numérico de la representación acostumbrada para los números?. Es decir, por
ejemplo ¿qué significa la representación del número N=1998?

Como es sabido, el número anterior significa 1 millar, más 9 centenas, más 9 decenas, más 8
unidades, es decir, N puede escribirse comoN= 1*103 + 9 * 102+ 9*101 + 8*100

Es decir, en general, un número cualquiera N de n dígitos escrito como

N= An-1An-2...A1A0 (1.1)

donde los dígitos An-1, ...  A1 A0 son alguno de los diez siguientes: 0, 1, 2, ..., 9. También podrá
escribirse como

N = An-1*10n-1 + An-2*10n-2+ ...+ A1*101 + A0*100 (1.2)

En este punto es conveniente introducir las siguientes definiciones:O Sistema Numérico
Se llama sistema numérico al conjunto ordenado de símbolos o dígitos y a las reglas con que se
combinan para representar cantidades numéricas. Existen diferentes sistemas numéricos, cada uno
de ellos se identifica por su base.

O Dígito
Un dígito en un sistema numérico es un símbolo que no es combinación de otros y que representa
un entero positivo.

O BitEs un dígito binario (Abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 o un 1.



Base
Sistema
Dígitos
2
Binario
0, 1
8
Octal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10
Decimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16
Hexadecimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F


Base de un sistema numérico
La base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.A continuación se ejemplifican estas definiciones con los sistemas numéricos más comúnmente
usados que son:














Notación

En adelante, para distinguir entre los diferentes sistemas numéricos encerraremos entre paréntesis el
número y le añadiremos un subíndice, indicando la base que se está usando.

F Sin embargo, si no se usa subíndice se deberá entender que el número está en base diez, amenos que se diga lo contrario.

Ejemplos:

35 = (35)10 = 35 base 10 (sistema decimal)
(110100)2 = 110100 base 2 (sistema binario)
(34)16 = 34H = 34 base 16 (sistema hexadecimal)

Notación

En general cualquier número entero consta de
Parte entera . Parte Fraccionaria
Cualquier número se puede escribir de dos maneras, mediante la notación yuxtaposicional osimplemente posicional (ecuación 1.1) o la notación polinomial (ecuación 1.2).

Notación posicional

Al escribir un número con esta notación, la posición de cada dígito nos dice su peso relativo. En
general, en la base r un número N de n dígitos en la parte entera y m dígitos en la parte fraccionaria
en esta notación se escribe:

N=(an-1 a n-2 .... a1 a0 . a-1 .... a -m )r (1.3)En esta notación el dígito de más a la izquierda (an-1) es decir, el que “pesa” más se denomina dígito
más significativo (MSD), en forma similar al de más a la derecha (a-m), es decir, el que “pesa” menos
se le llama dígito menos significativo (LSD)


Ejemplo: (218.25)10 r=10, n=3, m=2

Notación polinomina
En general cualquier número N puede ser escrito como un polinomio en potencias de la base. Así, lanotación polinomial para el número expresado por (1.3) será



n−1
i=−m
(1.4)


Ejemplo:

N = (218.25)10 = 2*102 + 1*101 + 8*100 + 2*10-1 + 5*10-2 q

1.2.- CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS NUMERICOS

Conversión De Binario A Decimal

Para poder transformar números binarios en su correspondiente decimal basta multiplicar el dígito binario (que sólo puede ser 0 o 1) por 2 elevado a la potencia...