math

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CAPITULO
3
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CALCULO
INTEGRAL

1.

2.

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INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO
• Concepto de a´ rea

• Integraci´on de funciones trigonom´etricas

• Sumas de Riemann

• Integrales irracionales

• Integral definida

• Area de la regi´on entre dos curvas

• Propiedades de la integral definida

• Volumen de un s´olido de revoluci´on

• Integral indefinida

• Longitudde arco de una curva

• Propiedades de la integral indefinida

• Area de una superficie de revoluci´on

• Teorema Fundamental del C´alculo Integral

• Integral impropia

• Integraci´on por cambio de variable

• Regla del punto medio

• Integraci´on por partes

• Regla del trapecio

• Integraci´on de funciones racionales

• Regla de Simpson

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CONTENIDOS FUNDAMENTALES DELCAPITULO

2.1. El problema del a´ rea
En esta secci´on partimos de la base que el concepto de a´ rea es bien conocido. Esto no significa que el alumno
deba tener una idea precisa y formal de dicho concepto, si no m´as bien que todos poseemos una idea intuitiva que
no necesita aclaraci´on.
El tipo de regi´on m´as simple con el que nos podemos encontrar es un rect´angulo, cuya a´ rea se definecomo
el producto de su base por su altura. A partir de esta definici´on podemos obtener las f´ormulas para el a´ rea de
regiones m´as complicadas: tri´angulos, paralelogramos, pol´ıgonos regulares, etc. El gran problema se plantea
cuando se intenta calcular el a´ rea de regiones m´as generales que las poligonales.
Los primeros matem´aticos que intentaron resolver el problema de una forma seriafueron los griegos, utilizando el
m´etodo de “exhauci´on”. Este m´etodo, atribuido a Arqu´ımedes, consiste en encajar la regi´on entre dos pol´ıgonos,
uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia entre las a´ reas de los dos pol´ıgonos es peque˜na, entonces podemos
aproximar el a´ rea de la regi´on por cualquier n´umero comprendido entre el a´ rea del pol´ıgono inscrito y el a´ rea delpol´ıgono circunscrito.
El m´etodo que emplearemos aqu´ı es parecido. Se trata de aproximar la regi´on por una uni´on de rect´angulos de tal

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MATEM ATICAS

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forma que el a´ rea de la regi´on se aproxime por la suma de las a´ reas de los rect´angulos.

2.2. La integral definida

2.2.1. El sumatorio
Como hemos indicado anteriormente, el a´ rea de una regi´on se va a obtener como unasuma (posiblemente infinita)
de a´ reas de rect´angulos. Para facilitar la escritura y comprensi´on de tal proceso, vamos a introducir una notaci´on.
La suma de n t´erminos a1 , a2 , . . . , an se denota por
n

ai = a1 + a2 + · · · + an ,
i=1

donde i se llama ´ındice de la suma, ai el i-´esimo t´ermino de la suma y los l´ımites inferior y superior de la
suma son 1 y n, respectivamente.Estos l´ımites deben ser constantes con respecto al ´ındice de la suma y la u´ nica
restricci´on es que el l´ımite superior debe ser cualquier entero superior (o igual) al l´ımite inferior.
El sumatorio posee las siguientes propiedades:
n

n

kai = k

(1)
i=1

ai , donde k es una constante que no depende del ´ındice de la suma.
i=1

n

n

[ai ± bi ] =

(2)
i=1

n

ai ±
i=1bi
i=1

Por ejemplo, algunas f´ormulas de suma importantes son las siguientes:
n

c = cn.

(1)
i=1
n

i=

(2)
i=1

n(n + 1)
.
2

n

(3)

i2 =

n(n + 1)(2n + 1)
.
6

i3 =

n2 (n + 1)2
.
4

i=1
n

(4)
i=1

2.2.2. Sumas de Riemann
Consideremos una funci´on f definida en el intervalo cerrado [a, b]. Una partici´on P de dicho intervalo es un
conjunto den´umeros {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } tales que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.

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C ALCULO
INTEGRAL

63

Si ∆xi es la anchura del i-´esimo subintervalo [xi−1 , xi ], es decir, ∆xi = xi − xi−1 , entonces se define la norma
de P, y se denota por ||P ||, como la longitud del subintervalo m´as grande. En otras palabras,
||P || = max {∆xi } = max{∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn }.
1 i...