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Universidad Tecnica
Federico Santa Mar´ıa
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Departamento de Matematica

Coordinacion
´ de Matem´atica II (MAT022)
Gu´ıa de ejercicios

Ejercicios Mat022 parte complementos

Operaciones con matrices







1 0 −1
1 2
1
1. Considere A =  1 0 1  , B =  0 3  y C =  −1  calcular los siguientes productos
2 3 2
5 6
0
cuando sea posible (si no se puede justificar)
(a)
(g)

AB
CT C

(b)
(h)BA
CC T

(c)
(i)

(d)
(j)

CB
BB T

CT B
BB T

(e)
(k)

A2
C T AC

(f)

B2

2. Si A y B son matrices de orden m × n y Ax = Bx para todo vector columna x ∈ Mn×1 entonces A = B.
3. Considere la matriz
A=

0
1

−1
0

calcular An para todo n ∈ N.
4. Suponga que A es de 3 × 5, que B es de 5 × 3, C es de 5 × 1 y D es de orden 3 × 1. Indique cuales de las
siguientes operaciones est´an bien definidas ycual es el orden de la matriz resultante cuando esta existe:
a) BA
b) ABD
c) A (B + C)
d) AC + BD
e) ABABD
5. Verdadero o Falso (si es falso dar un contraejemplo)
a) Si A2 est´a definido entonces A es cuadrada
b) Si AB y BA est´an definidas entonces A y B son cuadradas.
c) Si AB y BA est´an definidas entonces AB y BA son cuadradas.
2

d) (AB) = A2 B 2 .
6. Si A = (aij )n×n = (i + j)n×n y B = (bij)n×n = (i − j)n×n calcular el t´ermino general de AB y BA.
7. Encontrar An para las matrices
A1 =

a
0

b
a

y A2 =

c
0

c
0

8. Suponga que la matriz cuadrada A conmuta con todas las matrices de su mismo orden ¿Qu´e puede decir
de ella? Intentar primero con matrices de orden 2 × 2 utilizando matrices especiales, por ejemplo
M1 =

1
0

0
0

y M2 =

0
0

0
1

y calculando AM1 = M1 A ver que implicaen los elementos de A, lo mismo para M2 .
9. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Muestre que tr (A + B) = tr (A) + tr (B) y tr (AB) = tr (BA).

1

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10. Sabemos que en las matrices el producto no es conmutativo, ¿Ser´a posible resolver la ecuacion
AX − XA = I
donde A es una matriz dada? Ind.: Utilizar traza.
11.Muestre que es posible tener A2 = [0] sin que la matriz A sea nula. Encontrar una matriz A que cumpla
A = [0] , A2 = [0] y A3 = [0]
12. Considere
A=

1
2

3
0

1
−1

yB =

0 4
0 3

calcule lo que se pide en cada punto y nada m´as que eso:
a) La segunda columna de AB
b) La segunda fila de AB
c) La fila 2 de A2
d) La fila 2 de A3
13. Si A y B son matrices triangulares superiores de orden n, que puededecir de AB.
14. Si A y B son matrices diagonales de orden n y α ∈ R muestre que A + B, αA, AB son diagonales.
15. Considere dos matrices diagonales de orden n × n digamos

α1
 0


A = Diag [α1 , α2 , . . . , αn ] =  0
 ..
 .

0
α2
0
..
.

0
0
α3
..
.

...
...
...
..
.

0
0
0
..
.

0

0

0

...

αn

β1
0
0
..
.

0
β2
0
..
.

0
0
β3
..
.

...
...
...
..
.

0
0
0
..
.

0

0

0

...

βn








y




B = Diag [β1 , β2 , . . . , βn ] = 











´ sobre los αi y βi se cumple AB = BA = In ?
Muestre que AB = BA. ¿Bajo que condicion
˜ 3 × 2 tal que AAT = I3 .
16. Estudiar si existe alguna matriz real A de tamano
´
17. Hallar los numeros
reales x, y, z, u y v para los que se verifica:



x 2
5
−1
v
 0 y 
=  −3
u 0
z 1
1


1
0 
2

˜ adem´as A y B son
18. Sabiendoque AM = B donde A, B y M son matrices cuadradas de igual tamano,
triangulares superiores y no nulas. Se pide analizar si M ha de ser triangular superior. ¿Qu´e puede decir
˜
del producto de dos matrices triangulares superiores del mismo tamano?
19. Hallar A3 siendo A la matriz



0
A =  cos β
sin β

cos β
0
1


sin β
−1 
0

20. Encontrar una matriz A tal que


1
A3 =  0
0

−7
8
0


1
38 27
2

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21. Encontrar Ap para p ∈ N donde




A=



0
0
0
..
.

1
0
0

0

0

0
1
0

...
...

0
0
0






1 
0 n×n

..

0



.
...

22. Una matriz cuadrada M tal que M 2 = M se llama matriz idempotente. Sabiendo que A y B son cuadradas
tales que A = AB y B = BA comprobar que A y B son idempotentes.
˜ que son...