Mi Repertorio De Trabajos

GEOMETRÍA

UNIDAD 13

Áreas I

Teorema

Región plana

Es una porción de plano, limitada por una
o más líneas llamada frontera o borde de
la región.
Una región puede ser abierta o cerrada,
estudiaremos las regiones que incluyen
la frontera.

b

S=a.b

a
Demostración

a
b
4Sx+(a–b)2 = (a+b)2
Sx
a 4Sx = 4ab
a–b Sx
a–b

om

b
a1
.c

a Sx

No convexo

m

ww

.M

at
e

A cada región le corresponde exactamente
un número real positivo llamado área.

S

1u

w

Unidad cuadrada

b⋅h
2

n(1) = L

h
b

Dos lados y el ángulo entre ellos
c

L
L
⇒ S = n2 = L2

Postulado de congruencia

Sx =

Sx

α°

bc ⋅ Sen α
2

b

1

L

Teorema de Herón
c

Sx

a

p=

a+b+c
2

b

S
S

S=

b

S = L2

SSx = a·b

Área de una región triangular
h

Postulado de la unidad
S

b

S = 1 u2

1u

L

b

Sx
a

at

Postulado del área

ic

Convexo

S
S

UNFV–CEPREVI

S

Sx = p(p − a)(p − b)(p − c )

73

GEOMETRÍA

En función del inradio
p=
c

a

r

Relación de áreas de regiones
triangulares

a+b+c
2

S=p·r

B
R
a

a ⋅b ⋅c
4R

SABC =

ca1
.c

Propiedades
1.

h

a⋅c
2

S

2.

=

b ⋅h
2

S

S

4.

n

En un triángulo equilátero

74

S1 c
=
S2 a

α° α°
a
c
S2
S1

S = m·n

a 60° a
Sx
60° 60°
a

n

3.

Teorema de Burlet

m

C

S2

m

b

S=

β°

S1 m
=
S2
n

ic

at
e
w

w

.M

S1

w

En un triángulo rectángulo
a

b’

om

SABC = rb(p–b)

Cc

α°

CA

m

A

β°

a’

h’

k : Razón de semejanza

SABC = ra(p–a)
SABC = rc(p–c)

a

b

c’

at

ra

~

a

h

2
2
2
2
S ABC
= a = b = c = h = ... = k 2
S A 'B'C' (a')2 (b')2 (c ')2 (h')2

En función del exradio
B

α°

A

C

b

d
B

B

O
A

S2

α°

En triángulos semejantes

En función del circunradio
c

c

a
S
α° 1
bb

S1 a ⋅ b
=
S2 c ⋅ d

Sx =

a

2

4

S
3

S

S
S

S
S

UNFV–CEPREVI

GEOMETRÍA

5.

S1

x

Sx

x
y

C
α°

A

SABCD =

S1

Sx

Sx

Sx = S1 ⋅ S2

S2

AC ⋅ BD ⋅ Sen α
2

S1

Sx =

Sx

S1 + S2 ST
=
2
3

S2

D

Nota: Si: α = 90º.

En paralelogramos

B

C

AC ⋅ BD
2

b

B

Sx = b . h
Sx = B . h

h

omSABCD =

Sx

H

ic

a1
.c

A

S

S
S1

S2

Sx

S4

S2

S3

S1+S2 = S3+S4=

Sx = S1+S2 =
x=

Sx

S x ST
=
4
2

x

Rombo
B

SABCD =

En trapecios
m

h

S=m.h

ST
2

ST
5

x

S4

S1

S

Punto cualquiera

w

w

S2

w

S1

S1·S2 = S3·S4

S

S
S

.M

at
e

Propiedades para todo cuadrilátero

m

at

D

S3ST
2

S2

y

Área de regiones cuadrangulares
cuadrilátero cualquiera
B

S1+S2 = Sx =

A

AC ⋅ BD
2

C

D
UNFV–CEPREVI

75

GEOMETRÍA

Problemas aPlicativos

6. Calcule el área de la región sombreada.
a) 8 3
αα
b) 6 2
8
c) 36
6
d) 2 6
e) 3 15
7

1. Calcule el área de la región triangular
BOA. Si: AB=L3
a) 8 3
A
b) 12 3
6
c) 2 3
d) 9 3
O
e) 3 3B

7. Calcule el área de la región sombreada.
a) 36
b) 48
c) 54
d) 72
15
13
e) 63

2. Calcule el área de la región sombreada, AB=L6
A
a) 2 3
b) 8 3
4
c) 6 3
B
d) 12 3
e) 15 3

at

ic

a1
.c

om

8. Calcule el área de la región cuadrada.
a) 12
b) 25
c) 16
d) 36
e) 9
8

1

9. Calcule el área de la región cuadrada.

w

w

w

.M

at
e

m

3.Calcule el área de la región sombreada.
Si A es punto de tangencia.
a) 9 3
b) 12 3
c) 4 3
d) 5 3
4
e) 6 3
5

14

4. En la siguiente figura, calcule el área
de la región triangular.
a) 12 3
4
b) 6 3
c) 3 3
9
d) 9 3
e) 18 3
5. En la siguiente figura, calcule “a”.
a) 8
6
α
b) 9
c) 24
d) 10
α
e) 12
2
76

4

16

a) 128
d) 64

b) 48
e) 32

c) 28

10. Calcule el...