miacoluch
Páginas: 2 (298 palabras)
Publicado: 3 de julio de 2013
Recta de Euler
La recta de Euler pasa por el ortocentro, el circuncentro y el centroide.
La recta de Euler de un triángulo es aquella que contieneal ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIIIDemostración
En un triángulo ABC, se determinan D como el punto medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE sonmedianas que se intersecanen el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.
A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta unpunto P, de modo que PG tenga el doble de longitud de GO (figura 1).
Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1; es decir: AG=2GD. De este modo
.
Por otrolado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales, y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC,entonces AP también lo será; es decir, AP es la altura del triángulo.
1. Se construye PG de modo que tenga el doble de longitud de GO.
2. Lostriángulos AGP y DGO son semejantes.
3. Las rectas DO y AP son paralelas. Por tanto AP es la altura del triángulo.
Un argumento similar prueba que los triángulos BPG y EOG sonsemejantes y por tanto BP también es la altura. Esto demuestra queP es el punto de intersección de las alturas y por tanto P=H; es decir, P es el ortocentro.
La recta de Euler pasa por el ortocentro, el circuncentro y el centroide.
La recta de Euler de un triángulo es aquella que contieneal ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIIIDemostración
En un triángulo ABC, se determinan D como el punto medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE sonmedianas que se intersecanen el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.
A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta unpunto P, de modo que PG tenga el doble de longitud de GO (figura 1).
Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1; es decir: AG=2GD. De este modo
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Por otrolado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales, y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC,entonces AP también lo será; es decir, AP es la altura del triángulo.
1. Se construye PG de modo que tenga el doble de longitud de GO.
2. Lostriángulos AGP y DGO son semejantes.
3. Las rectas DO y AP son paralelas. Por tanto AP es la altura del triángulo.
Un argumento similar prueba que los triángulos BPG y EOG sonsemejantes y por tanto BP también es la altura. Esto demuestra queP es el punto de intersección de las alturas y por tanto P=H; es decir, P es el ortocentro.
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