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Aproximación Poisson a la distribución binomial

Si n es “grande” y p es “pequeño” tenemos la siguiente aproximación:


Teorema
Si n y p0 en forma tal que npa entonces C(n,k) pkqnk ea ak / k!

Demostración
Definimos an = np así que ana. Tenemos que:

= ▼
Ejemplo
Se distribuyen al azar n bolillas entre n cajas. ¿ Cual es la probabilidad de encontrar k bolillasen una dada caja ?
C(n,k) (1/n)k (1 1/n)nk  e1 / k!

Ejemplo
Durante la segunda guerra mundial cayeron sobre Londres 537 bombas voladoras. El área afectada fué dividida en 576 sectoresiguales. Sea Nk el número real de sectores en los cuales cayeron k bombas. Suponiendo que las bombas cayeron al azar, el número esperado de bombas por sector es 537/576= 0.932. La probabilidad que caigank bombas en un sector, según la aproximación Poisson , es Pk= e0.932 (0.932)k / k! La tabla adjunta muestra la comparación entre real y teórico:

k
0
1
2
3
4
5
Nk
229
211
93
35
7
1576 Pk
226
211
99
31
7
2

Proceso Poisson
A lo largo del eje positivo del tiempo (t>0) se presentan aleatoriamente eventos. Por ejemplo, una sustancia radioactiva emite partículas o lleganllamadas a una central telefónica. El modelo más simple para describir este tipo de proceso es el que se describe a continuación.

Para 0u0. (C)

De (B) resulta para k=0 que P0(t+s) = P0(t)P(s). Esto muestra que P0(t) es no creciente. Además, si r y s son enteros positivos deducimos que:
P0(r/s) = [P0(1/s)]r
Para el caso particular r=s se deduce P0(1/s) = [P0(1)]1/s . Reemplazando:P0(r/s) = [P0(1)]r/s
Como P0(t) es no creciente debemos tener 0P0(1)1.
P0(1)= 1 implica P0(t) = 1 para t racional lo que contradice III)
P0(1)= 0 implica por (B) P1 (t+s)=0 lo que tambiencontradice III)
Por lo tanto, existe >0 tal que P0(1) = e. Esto demuestra (C) para t racional.
Sea t>0 un número real y dos sucesiones de numeros racionales tales que rn t y sn t entonces:...