mister

Formulari de l’assignatura Equacions Diferencials i C`lcul Vectorial (versi´ 6)
a
o
Grau de F´
ısica de la Universitat de Barcelona
Equacions diferencials

Forma normal: y = f (x, y )

Equacions diferencials de primer ordre
Forma impl´
ıcita: F (x, y, y ) = 0

Canvi: u = y/x

Separables: ψ1 (x)ϕ1 (y )dx = ψ2 (x)ϕ2 (y )dy

Equacions diferencials de variables separades i separablesSeparades: ψ (x)dx = ϕ(y )dy
Equacions diferencials homog`nies (de grau 0)
e
y = f (x, y ) = f (λx, λy ) = λ0 f (x, y );
Equacions diferencials reductibles a homog`nies (de grau 0)
e
y =f

a1 x + b1 y + c1
a2 x + b2 y + c2

R

a) Si c1 = c2 = 0 l’equaci´ ´s homog`nia
oe
e
b) Si c1 = 0 i/o c2 = 0:
1. Si les rectes es tallen en el punt (x0 , y0 ), fer els canvis de variables x = ξ+ x0 , y = η + y0 ;
despr´s fer el canvi u = η/ξ
e
o
2. Si les rectes s´n paral·leles fer el canvi z = a1 x + b1 y ; es converteix en equaci´ diferencial
o
de variables separables
Equacions diferencials lineals de primer ordre
y + p(x)y = q (x)
´
1. Si q (x) = 0, lineal homog`nia. Es de variables separables: y = ce− p(x)dx
e
2. Si q (x) = 0, lineal completa. M`tode de variaci´ de lesconstants:
e
o
R
a) y = ce− p(x)dx
b) c = c(x) i se substitueix en l’equaci´ completa per trobar la c(x)
o
Equacions diferencials de Bernouilli
y + p(x)y = q (x)y n
1. Si n = 0 o n = 1, obtenim una lineal completa o homog`nia, respectivament
e
2. Si n = 0 i n = 1 les redu¨ a lineals dividint per y n , fent el canvi u = 1/y n−1 i multiplicant per (1 − n)
ım
Equacions en diferencialstotals o equacions diferencials exactes

N (x, y )dy + c(x); i despr´s M (x, y ) =
e

∂M
∂N
=
∂y
∂x

∂N
∂M
=
M (x, y )dx + N (x, y )dy = 0, si M (x, y ) i N (x, y ) cont´
ınues i derivables i
∂y
∂x
∂U
∂U
dx +
dy = M (x, y )dx + N (x, y )dy
U (x, y ) = C ;
dU (x, y ) = 0 =
∂x
∂y
∂U (x, y )
1a opci´: U (x, y ) = M (x, y )dx + c(y ); i despr´s N (x, y ) =
o
e
∂y
∂U (x, y)
∂x
2a opci´: U (x, y ) =
o

Equacions en diferencials totals amb factor integrant
M (x, y )dx + N (x, y )dy = 0, si M (x, y ) i N (x, y ) cont´
ınues i derivables i

1

El factor integrant μ(x, y ) converteix μ(x, y )M (x, y )dx + μ(x, y )N (x, y )dy = 0 en exacta

∂ (μM )
∂ (μN )
∂μ
∂M
∂μ
∂N
Condici´ d’integrabilitat:
o
=
; o an`logament M
a
+μ
=N
+μ
∂y
∂x
∂y
∂y∂x
∂x
∂N
1 dμ
1 ∂M
−
=
nom´s dep`n de x i μ
e
e
1. μ(x, y ) = μ(x) si l’equaci´
o
N ∂y
∂x
μ dx
1 ∂N
∂M
1 dμ
−
=
nom´s dep`n de y i μ
e
e
M ∂x
∂y
μ dy

2. μ(x, y ) = μ(y ) si l’equaci´
o

Equacions diferencials de primer ordre no resoltes
F (x, y, y ) = 0

a
o
1. Si es pot a¨
ıllar la y . Ser` d’algun tipus ja vist, per` pot ser de 2n grau i tenir dues solucions.
u2. Si no es pot a¨
ıllar la y . Ens limitem als casos seg¨ ents:

a) Si falta la x, F (y, y ) = 0, i es pot a¨
ıllar la y , fem el canvi y = P i donem el resultat en
forma param`trica
e
ıllar la x, fem el canvi y = P i donem el resultat en
b) Si falta la y , F (x, y ) = 0, i es pot a¨
forma param`trica
e
Traject`ries ortogonals
o

normal

= −1

dy
dx

tangent

1 + y (x0 )21 + y (x0 )2

n = 0, . . . , N − 1

n = 0, . . . , N − 1

Donada la fam´ de corbes a partir de l’equaci´ diferencial F (x, y, y ) = 0, fem el diferencial i trobem
ılia
o
Les traject`ries ortogonals es troben a partir de:
o
dy
dx

L’equaci´ diferencial de la fam´ de corbes ortogonals ´s F (x, y, −1/y ) = 0
o
ılia
e
Problemes geom`trics
e
− y0 =
y (x 0 )
y (x 0 )

Equaci´de la tangent: y − y0 = f (x0 )(x − x0 )
o
− f (1 0 ) (x − x0 )
Equaci´ de la normal: y
o
x
Longitud de la tangent:
Longitud de la normal:

y (x0 )
y (x 0 )

y (x0 )

Longitud de la subnormal: |y (x0 )y (x0 )|

Longitud de la subtangent:

Resoluci´ num`rica d’equacions diferencials de primer ordre
o
e

n = 0, . . . , N − 1

hn
n
n
n
[k + 2k2 + 2k3 + k4 ];
61

h...