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MÉTODOS CUANTITATIVOS AYUDANTIA Nº 1
Jueves 21 de Abril de 2011 Profesor: Ayudantes: . 1. Sea Yi = β1 + β2Xi1 + β3Xi2, un modelo de regresión lineal múltiple que describe el comportamiento de los datos que se presentan en la tabla:
MUESTRA Y X1 X2 1 30 5 4 2 48 8 4 3 30 6 6 4 90 12 6 5 24 6 7 6 57 10 7 7 5 3 5 8 43 5 2 9 53 10 6 10 95 16 8 11 33 7 6 12 65 9 3 13 68 10 4 14 26 5 4

JuanGutiérrez T. Javier Fernández U. Felipe Retamal V.

Donde: Yi = Tasa de inflación (%) Xi1 = Tasa de desempleo (%) Xi2 = Tasa de inflación esperada (%) Se pide: a) Determinar las ecuaciones normales b) Estimar el modelo mediante MCO de forma matricial. c) Determinar R2 y explique su significado.

2. Los siguientes datos proporcionan la cantidad demandada de un artículo (Y), su precio (X1) y el ingresode los consumidores (X2) en el período 1981-1995. Suponga además que la función de demanda es la siguiente: Y = A*X1b*X2c*eui
Año 1981 Y X1 X2 40 9 400 1982 45 8 500 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 50 9 600 55 8 700 60 7 800 70 6 900 65 65 6 8 1000 1100 75 75 80 100 90 95 5 5 5 3 4 3 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1995 85 4 1800

Se pide lo siguiente: a) Transformarla función de demanda en un modelo lineal. b) Derivar ecuaciones normales. c) Estimar, mediante MCO el modelo transformado. d) Calcular el R2 del modelo transformado.

SOLUCIÓN

1) El modelo a usar en este caso es: ^

Y = β0 + β1 X1 + β2 X2
a) F.O: min ∑(ei) = min (Yi – Ŷi) = min (Yi – (β0 + β1X1i + β2X2i))
2 2 2

∂F.O. = -2*[∑(Yi – (β0 + β1X1i + β2X2i))] = 0 ∂β0 ∂F.O. = -2*[∑(Yi – (β0+ β1X1i + β2X2i))* X1i] = 0 ∂β1 ∂F.O. = -2*[∑(Yi – (β0 + β1X1i + β2X2i))* X2i] = 0 ∂β2 ∑Yi = ∑β0 + β1∑X1i + β2∑X2i ∑YiX1i = β0∑X1i + β1∑X1i2 + β2∑X1i X2i ∑YiX2i = β0∑X2i + β1∑X1i X2i + β2∑X2i2 ∑Yi ∑YiX1i ∑YiX2i = N ∑X1i ∑X1i ∑X1i2 ∑X2i ∑X1i X2i ∑X2i ∑X1i X2i ∑X2i2 * β0 β1 β2 Esto coincide con la fórmula usual para calcular β.

b)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 8 6 12 6 10 3 5 10 16 7 9 10 5 4 46 6 7 7 5 2 6 8 6 3 4 4 30 48 30 90 24 57 5 43 53 95 33 65 68 26

X=

Y=

X'*X=

14 112 72

112 1050 614

72 614 408

(X'*X)^-1=

0,841364 -0,024355 -0,118824

-0,024355 0,008642 -0,008708

-0,118824 -0,008708 0,035289

X'*Y=

667 6414 3557

, entonces

B=

7,21834 8,21285 -4,91522

Las ecuaciones normales finalmente están dadas por: 1) 14β0 + 112β1 + 72β2 = 667 2)112β0 + 1050β1 + 614β2 = 6414 3) 72β0 + 614β1 + 408β2 = 3557 Por lo tanto, el modelo estimado es: ^ y = 7,21834 +8,21285 X1-4,91522X2 c) R2 = βt (XtY) – (1/m)(∑Yi)2 , ∑yi2 – (1/m)(∑Yi)2 = 40008,4- [(1/14)*(444889)] 40351 - [(1/14)*(444889)] = 0,960039

m = N° de observaciones por variable independiente.

Por lo tanto, el 96,0039% de la varianza total de Y es explicada por los predoctores X1 yX2.

2)

Y = AX1B*X2C*eui / ln B C ui ln Y = ln (AX1 *X2 *e ) ln Y = ln A + ln X1B + ln X2C + ln eui Y* = ln A + B X1* + C X2* + ui ^ 2 b) F.O: min ∑(ei) = min (y – y)2 = min (y – (ln A + B X1* + C X2*))2 a) ∂F.O. = 2[∑(y – (ln A + B X1* + C X2*))]*(-1) = 0 ∂lnA ∂F.O. = 2[∑(y – (ln A + B X1* + C X2*))]*(-X1*) = 0 ∂B ∂F.O. = 2[∑(y – (ln A + B X1* + C X2*))]*(-X2*) = 0 ∂C c) Los nuevos datosse presentan a continuación:
Y* 3,6888 3,8066 3,912 4,0073 4,0943 4,2484 4,1743 4,1743 4,3174 4,3174 4,382 4,6051 4,4998 4,5538 4,4426 X1* 2,1972 2,0794 2,1972 2,0794 1,9459 1,7917 1,7917 2,0794 1,6094 1,6094 1,6094 1,0986 1,3862 1,0986 1,3862 X2* 5,9914 6,2146 6,3969 6,551 6,6846 6,8023 6,9077 7,003 7,09 7,1701 7,2442 7,3132 7,3777 7,4383 7,4955

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2,1972 2,07942,1972 2,0794 1,9459 1,7917 1,7917 2,0794 1,6094 1,6094 1,6094 1,0986 1,3862 1,0986 1,3862

5,9914 6,2146 6,3969 6,551 6,6846 6,8023 6,9077 7,003 7,09 7,1701 7,2442 7,3132 7,3777 7,4383 7,4955

3,6888 3,8066 3,912 4,0073 4,0943 4,2484 4,1743 4,1743 4,3174 4,3174 4,382 4,6051 4,4998 4,5538 4,4426

XtX =

15 25,9597 103,6805 25,9597 46,8614 177,3304 103,6805 177,3304 719,6485 109,4436...