Modelo De Leontief En Reticulos De Banach

Introducción
El modelo de Leontief es uno de los más utilizados y conocidos en economía matemática. Básicamente, se trata de estudiar bajo qué condiciones la ecuación x=Ax+c tiene una solución x que sea un vector no negativo de Rn, siendo A una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos son mayores o iguales a cero, y siendo c un vector no negativo de Rn. Económicamente, x es el vector deproducción de un sistema económico, c es la demanda externa, y Ax es la demanda interna, siendo x=Ax+c la ecuación de equilibrio.
Análogamente, se puede considerar la llamada ecuación dual de Leontief, que representa una condición de equilibrio en los precios, y cuya propiedad más importante es que tiene solución si y solo si la tiene la ecuación lineal.
Varias han sido las generalizaciones del modeloclásico de Leontief. Entre ellas, cabe destacar aquellas que cambian la expresión Ax por una no lineal (justificada porque en la economía hay muchas relaciones no lineales), y aquellas que extienden las propiedades del modelo a espacios de dimensión infinita. Interesantes aportaciones en esta última línea se pueden encontrar en (4) y (5) donde se prueban resultados sobre la existencia desoluciones de la ecuación de Leontief, a la vez que se debilita la hipótesis de linealidad, y se dan varias justificaciones de la extensión del problema a espacios de dimensión infinita.
El propósito de esta trabajo es el estudio del modelo en retículos de Banach, y asi, tras introducir los conceptos y resultados más generales en la primera sección, pasamos a probar la existencia de soluciones en elteorema 6, a la vez que planteamos problemas aun abiertos en las observaciones 7.
Finalmente, la propiedad de Leontief que se ha definido al comienzo del trabajo, se estudia en la última parte, destacando como resultado de especial interés el teorema 10.
Preliminares

Operadores regulares entre retículos vectorialesDEFINICION Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales. Se dice que E es un retículo vectorial si está parcialmente ordenado con un orden, ≤, que cumple:
a) Si x≤y, entonces x+y≤y+z para x, y, z ∈E cualesquiera.
b) Si x≤y, entonces ax≤ay para todo a≥0.
c) Para todo par de elementos x, y de E existen el supremo x∨y y el ínfimo x∧y.
Dado un retículo vectorial E se define el conopositivo E+=x∈E:x≥0 , la parte positiva x+=x∨0 y la parte negativa x-=(-x)∧0 de un elemento x de E, asi como su modulo x=x∨(-x). Dos elementos x e y de E son disjuntos si x∧y=0, y se denota por x⊥y. Si A es un subconjunto de E se llama complemento ortogonal de A, y se denota por A⊥, al conjunto A⊥=x∈E :x⊥y para todo y∈A.
Retículos vectoriales normados.
DEFINICION Sea E un retículo vectorial; unanorma · sobre E es reticular si para cualquier par de elementos x, y∈E con x≤y se tiene x≤y. Un retículo es normado si está dotado de una norma reticular. Un retículo de Banach E es un retículo vectorial normado que es completo respecto a la métrica derivada de su norma.

Planteamientos generales
Consideramos un retículo de Banach X , X+ el cono convexo y cerrado de los elementos no negativosde X, y T un operador lineal continuo y no negativo (es decir, T(x)≥0) de X en sí mismo. Para cada e∈X+, llamaremos problema de Leontief asociado a e, y le notaremos por (Pe), al siguiente
x=Tx+e , x∈X+
Sea X' el espacio dual de X, y sean X+' el cono dual de X+ y T' es un operador no negativo de X' en sí mismo, y para cada e'∈X+' llamaremos problema de Leontief dual, y lo denotaremos por(Pe')' , al siguiente
x'+T'x'=e' , x'∈X+'
Notaremos por I a la aplicación identidad de X sobre X y de X' sobre X' indistintamente.
1. Definición
Sea e∈X+.Diremos que x∈X+ es una subsolucion de (Pe) si
x≥Tx+e y que es una solución si
x=Tx+e
Sea e'∈X+'. Diremos que x'∈X+' es una solución de Pe'' si
x'=T'x'+e'
Diremos que el par X,T verifica la propiedad de la subsolucion, si...