MODULO 28

Instituto Profesional de Chile
Ingeniería en Industrias
Ecuaciones diferenciales









Modulo Nº 28
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales






















Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
1. Objetivos del modulo
Aplicar las ecuaciones diferenciales a problemas en distintas áreas.

2. Desarrollo de Contenidos

Aplicaciones a la Biología:

Uno de los campos másfascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.

Crecimiento Biológico:
Un problema fundamental en la biología es elcrecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:

dy / dt = αy
con solución
y = ce
Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si α > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí α < 0.
Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada yde su solución correspondiente es que si α > 0 entonces tenemos que y→∞ si t→∞ , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.


Formulación Matemática:
Supongamos que “y” denota la altura de un serhumano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:

dy / dx = F(y) y = Yo para t=0

Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = αy no es apropiada, ensayemos como unaaproximación de orden superior dada por la función cuadrática F(y) = αy - βy² , y = Yo para t = 0.

Puesto que la ecuación F(y) = αy - βy² es de variables separables, tenemos


dy / αy – βy² = dt ó ∫ dy / y (α – βy) = t + c

esto es, ∫1/α [1/y + β/α – βy]dy = t + c

= 1/α [ln y - ln (α – βy)] = t + c

Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que:Y = α/β _ _
1 + [α/β / Yo - 1] e

Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t→∞, vemos, ya que α > 0, que:
Ymax = lim Y = α / β
t→∞

Por simple álgebra encontramos:

Ymax = lim Y = Y1(Yo – 2YoY2 + Y1Y2)
t→∞ Y1² - YoY2Ejemplo:

Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento.

Edad
Altura (pul)
Nacimiento
19.4
1 año
31.3
2 años
34.5
3 años
37.2
4 años
40.3
5 años
43.9
6 años
48.1
7 años
52.5
8 años
56.8

solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, seat = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8.
Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida.

Problemas de Epidemiología:

Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control deuna enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.

Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo...