Momento Angular

Cap´ ıtulo 8

Momento angular
8.1. Momento angular de una part´ ıcula

Consideremos una part´ ıcula de masa m y cuya posici´n (respecto a alg´n sistema de refeo u rencia inercial) viene dada por el vector r. Sea F la fuerza neta que act´a sobre la part´ u ıcula. a Entonces, de acuerdo a la 2 ley de Newton, la ecuaci´n de movimiento es o F = dp . dt

Tomando el producto cruz con el vector rse obtiene r×F =r× Observemos que d dr dp dp (r × p) = ×p+r× =r× . (8.2) dt dt dt dt La ultima igualdad se deduce del hecho que los vectores dr/dt = v y p son paralelos. Usando ´ (8.2) en (8.1) se obtiene d τ = r × F = (r × p) . dt Definimos el momento angular de una part´ ıcula por ≡r×p, entonces d . dt Igual que en el caso del torque, el momento angular de una part´ ıcula depende del origen quese use para evaluarlo. Si el torque que act´a sobre una part´ u ıcula, medido respecto a cierto origen es nulo, entonces el momento angular de la part´ ıcula, respecto al mismo origen, no variar´ en el tiempo, es decir, se conservar´. a a τ= dp . dt (8.1)

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Momento angular

Evaluemos el momento angular de una part´ ıcula en movimiento. Supongamos que una part´ ıcula demasa m se mueve en el plano x ,y y sean r(t), θ(t) las coordenadas polares del vector de posici´n r(t). La posici´n de la part´ o o ıcula vendr´ dada por a r = rˆ , r donde r = cos θ x + sin θ y . ˆ ˆ ˆ Derivando obtenemos la velocidad ˙ v = rr+rr . ˙ˆ ˆ Figura 8.1

Pero d ˙ˆ ˙ ˆ ˙ˆ ˙ ˆ ˆ r = (cos θ x + sin θ y ) = − sin(θ) θ x + cos(θ) θ y ≡ θ θ , ˆ dt luego ˙ˆ v = r r + rθ θ . ˙ˆ De esta manera,para el momento angular de la part´ ıcula se encuentra la expresi´n o ˙ˆ ˆ ˙ˆ = r × p = m r r × v = mrr r × r + mr2 θ r × θ = mr2 θ z , ˆ ˙ˆ ˆ donde z es el vector unitario perpendicular al plano (x, y) (cuya direcci´n en que apunta se ˆ o encuentra usando la regla de la mano derecha). ˙ Observe que si la part´ ıcula se aleja en direcci´n radial (o sea, θ = 0 y r = 0) entonces el o ˙ momentoangular es nulo. S´lo si el ´ngulo θ del vector de posici´n cambia a medida que o a o transcurre el tiempo, el momento angular es no nulo. ¡El momento angular de una part´ ıcula est´ relacionado con el aspecto rotacional de su movimiento! a Ejemplo: Consideremos una part´ ıcula que se mantiene en un movimiento circular uniforme (con velocidad angular ω0 ) mediante un hilo.

8.2 Momento angular devarias part´ Iculas Sea R el radio de c´ ırculo. El momento angular de la part´ ıcula (respecto al centro de la circunferencia) viene dado por = mR2 ω0 z . ˆ La direcci´n en que apunta es a lo laro go del eje de giro, y en el sentido dado por la regla de la mano derecha (los dedos empu˜ados indicando el sentido de la n rotaci´n; el pulgar extendido da el sentido o del momento angular). Figura 8.2215

2 ˆ El hilo ejerce una fuerza sobre la part´ ıcula (la fuerza centr´ ıpeta dada por −mRω0 r), pero esta fuerza no ejerce un torque respecto al origen ya que F y r son paralelos. Debido a que el torque es nulo, el momento angular de la part´ ıcula se conserva (o sea, a medida que transcurre el tiempo no cambia la magnitud ni la orientaci´n del vector ). o

8.2.

Momento angular devarias part´ ıculas

Consideremos ahora N masas {mj } ubicados en los lugares {rj }. Sean {Fj } la fuerza externa que act´a sobre cada part´ u ıcula y {fji } la fuerza que la masa i ejerce sobre la masa j. Por supuesto que debido al tercer principio de Newton, fji = −fij . Supongamos adem´s que la a fuerza que una part´ ıcula i ejerce sobre otra part´ ıcula j es a lo largo de la l´ ınea que las une(o sea, que la interacci´n entre las part´ o ıculas es central). La ecuaci´n de movimiento (2a ley de Newton) para cada part´ o ıcula es Fj +
i

fji =

dpj . dt

Tomando el producto cruz con el vector rj se obtiene rj × Fj +
i

fji

= rj ×

dpj . dt

Por la misma raz´n discutida en la secci´n anterior o o rj × dpj d = (rj × pj ) . dt dt d d (rj × pj ) = dt dt

Usando esta...