momn

Eliminación Gaussiana

Método de Eliminación Gaussiana

Johann Karl Friedrich Gauss
El príncipe de los matemáticos
† 30 de abril 1777
‡ 23 de febrero de 1855
Universidad Tecnológica de Panamá. Métodos Numéricos. Ing. Salvador A. Rodríguez G.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales
En Ingeniería Civil una de las mayores aplicaciones que
tiene la solución de un sistema de ecuacioneslineales es
el área del Análisis Estructural.

Estructura Simple
Cercha en un plano tiene dos ecuaciones
de equilibrio por nudo
8 nudos = 16 ecuaciones
Incógnitas 13 barras y 3 reacciones = 16

Marco estructural
Cada nudo permite plantear 3 ecuaciones
Número de incógnitas es igual al numero de
nudos multiplicado por 3.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Se desea resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
a. x + 3y + z = 0
b. 12x - y – 7.6z = 0
c. 2x + 3y + 5z = -7.96
¿ Qué podemos hacer?

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Intersección de tres líneas
en el Espacio

z
y

(-1.022,0.919,-1.734)
x

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Eliminación Gaussiana Simple
Un método para resolver ecuaciones
simultaneas lineales de la forma
[A][X]=[B]

Dos pasos
1. Eliminación hacia adelante
2. Sustitución hacia atrás
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Eliminación hacia adelante
La meta de laeliminación hacia adelante es la de transformar la
matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.

 25 5 1  x1  106.8 
 64 8 1  x   177.2 

  2 

144 12 1  x3   279.2
5
1 
 25
 0 4.8 1.56


 0
0
0.7 

 x1   106.8 
 x    96.21
 2 

 x3   0.735 

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Eliminación hacia adelante
Un conjunto de n ecuaciones con n incognitas

a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1

a21 x1  a22 x2  a23 x3  ...  a2n xn  b2
.
.
.

.
.
.

an1 x1  an 2 x2  an3 x3  ...  ann xn  bn
(n-1) pasos de la eliminación hacia adelante
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Eliminación hacia adelante
Paso 1
Divida la ecuación 1, entre a11 y multiplíquela por a21
 a21 
  (a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1 )
 a11 

a21
a21
a21
a21 x1 
a12 x2  ... 
a1n xn 
b1
a11
a11
a11

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Eliminación hacia adelante
Reste el resultado, de la ecuación2.

a21 x1  a22 x2  a23 x3  ...  a2n xn  b2
a21
a21
a21
(a21 x1 
a12 x2  ... 
a1n xn 
b1 )
a11
a11
a11

_________________________________________________




a21 
a21
a21
a12  x2  ...   a2 n 
a1n  xn  b2 
b1
 a22 
a11
a11
a11





tenemos

a x  ...  a x  b
'
22 2

'
2n n

'
2

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Eliminación hacia adelante
Repita el procedimiento para las ecuaciones restantes
hasta reducir el sistema

a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
'
'
a22
x2  a23
x3  ...  a2' n xn  b2'

'
'
a32
x2  a33
x3  ...  a3' n xn  b3'
.
.
.
.
.
.
.
.
.
'
an' 2 x2  an' 3 x3  ...  ann
xn  bn'

Fin del Paso 1Universidad Tecnológica de Panamá. Métodos Numéricos. Ing. Salvador A. Rodríguez G.

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Eliminación hacia adelante
Paso 2
Repita el mismo procedimiento para el 3er termino de la
ecuación 3.

a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
'
'
a22
x2  a23
x3  ...  a2' n xn  b2'

"
a33
x3  ...  a3" n xn  b3"

.
.
.

.
.
.

"
an" 3 x3  ...  ann
xn  bn"

Fin...