Moral Y Luce

DETERMINANTES
En matemáticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un cuerpo En. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones.Cálculo de Determinantes
Determinante de orden uno
  |a 11| = a 11
  |-2| = -2
Determinante de orden dos
= a 11 a22 - a 12 a21
  
Determinante de orden tres
Se aplica la regla de Sarrus:
La regla de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3.

Cálculo de un determinante de cualquier orden
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formadapor elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.
Seguiremos los siguientes pasos:
1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2. En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea quecontenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela).

2. Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3. Tomando comoreferencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.
= 2(-58)

MENORES COMPLEMENTARIOS
Menor complementario de un elemento de un determinante
Se llama menor complementario de un elemento aij al valordel determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
  

Adjunto de un elemento de un determinante
Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:
El signo es +    si  i+j  es par.
El signo es -    si  i+j  es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por susadjuntos correspondientes:
  

EN EL MANEJO DE DETERMINANTES SE PUEDEN ESTABLECER ALGUNAS PROPIEDADES QUE FACILITAN LAS OPERACIONES DE CÁLCULO. TALES PROPIEDADES SON:
1.|At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2.|A|=0    Si:
Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de lasotras.

F3 = F1 + F2
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

4.Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5.Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6.Si se multiplicaun determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8.|A·B| =|A|·|B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

MÉTODO DE MENORES COMPLEMENTARIOS.Tomamos el número dos (2) como Pivote, entonces el determinante quedaría así:
=
=
= 40 + (-15) + 1
= 41 + (-15)
= 26

Calcularemos el Determinante de una Matriz por el método de Menores Complementarios con Transformaciones.
Comenzamos la transformación de ceros y unos para mayor facilidad del ejercicio, teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:



Ya hemos calculado la...