Movimiento rectilines

INTRODUCCIÓN







Movimiento rectilíneo es el movimiento de un objeto en línea recta. Si existe un sistema de coordenada en dicha recta, y  ''s'' denota la coordenada del objeto en cualquier momento t, entonces la posición del objeto está dada  por una función s = f (t ).



Si el movimiento de una partícula p sobre una línea recta está dado por la función s=f (t), ley delmovimiento, siendo t ≥0    el     tiempo y    S   la distancia de P a un punto fijo   0    de la trayectoria entonces la velocidad de P.

El movimiento rectilíneo puede expresarse o presentarse como Movimiento rectilíneo uniforme, o como movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Este último puede, a su vez, presentarse como de caída libre o de subida vertical.



OBJETIVOS




OBJETIVOGENERAL
Aprender sobre el uso de las derivadas en el movimiento rectilíneo, así como las formulas y ecuaciones que se utilizan para operar este tipo de problemas.



OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Conocer las características de los movimientos rectilíneos uniformes y uniformemente acelerados.

Relacionar tablas de valores con representaciones gráficas.

Calcular el espacio recorrido por un móvil apartir de su gráfica v/t.

Conocer y aplicar las ecuaciones de los movimientos estudiados.

LA APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN MOVIMIENTO RECTILÍNEO
1. RECTILÍNEO Y LA DERIVADA
Se le llama movimiento rectilíneo al movimiento de un objeto en línea recta, bien sea horizontal o vertical. A una función S que proporcione la coordenada del objeto sobre dicha recta se la llama función de posición. Lavariable T representa el tiempo y S(T) es una distancia dirigida que se mide en centímetros, metros, pies, millas, etc. Desde un punto de referencia s=0. Recuérdese que en una escala horizontal se considera positiva la dirección S hacia la derecha de s=0, y en una escala vertical, la dirección S hacia arriba.

2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoriaes una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
A. POSICIÓN
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

B. DESPLAZAMIENTO
Supongamos ahora queen el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado x=x'- x en el intervalo de tiempo t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
C. VELOCIDAD
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer elintervalo de tiempo t tan pequeño como sea posible, en el límite cuando t tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
1. EJERCICIO
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1,donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
 2 y 3 s.
 2 y 2.1 s.
 2 y 2.01 s.
 2 y 2.001 s.
 2 y 2.0001 s.
 Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)
x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
 m/s
3
46
25
1
25
2.1
23.05
2.05
0.1
20.5
2.01
21.2005
0.2005
0.01
20.05
2.001
21.020005
0.0200050.001
20.005
2.0001
21.00200005
0.00200005
0.0001
20.0005
 ...
  ...
 ...
 ...
 ...
 
0
20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
a. La posición del móvil en el...