mpmo

Matriz simétrica
Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la caracteristica de ser igual a su traspuesta.

Una matriz de n\times m elementos:


A =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2m} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3m} \\
. & . & .& . & . & .& . \\
. & . & . & . & . & .& . \\
. & . & . & . & . & .& . \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nm} \\\end{pmatrix}
es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y a_{ij} = a_{ji} para todo i, j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.

Ejemplo para n = 3:\begin{pmatrix}
{\color{Gray}-8} & {\color{Blue} -1} & {\color{Red} 3} \\
{\color{Blue} -1} & {\color{Gray}7} & {\color{Magenta} 4} \\
{\color{Red} 3} & {\color{Magenta} 4}& {\color{Gray}9} \\
\end{pmatrix}
A es también la matriz traspuesta de sí misma: A^t = A. Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son uncaso particular de las matrices hermíticas.



Índice [ocultar]
1 Propiedades
2 Autovalores
3 Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica
4 Véase también
5 Enlaces externosPropiedades[editar]
Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales esdiagonalizable. En particular, es semejante a una matriz ortogonal.

Autovalores[editar]
Como las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas, todos sus autovalores son reales.

Conbase en las propiedades de los autovalores de una matriz simétrica, se pueden clasificar en los siguientes tipos:

definida positiva: Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos...