mtriz

Matrices y Determinantesn
ALG

2013

Definición de matriz
Matriz

Una matriz es un ente matemático equivalente a una tabla; es decir, es un arreglo de elementos de cualquier naturaleza
(aunque, en general, suelen ser números) cuya estructura está organizada en renglones y columnas.
Matemáticamente, se llama matriz de 𝑚 por 𝑛 a un conjunto rectangular de elementos 𝑎 𝑖𝑗 , dispuestos en 𝑚renglones y
en 𝑛 columnas; una matriz con estas características tiene la forma
𝑎11
𝑎21
⎛
𝐴 = ⎜ 𝑎31
⋮
𝑎 𝑚1
⎝

𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎 𝑚2

𝑎13
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎 𝑚3

𝑚×𝑛

⋯
⋯
⋯
⋱
⋯

𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⎞
𝑎3𝑛 ⎟
⋮
𝑎 𝑚𝑛 ⎠

= �𝑎 𝑖𝑗 �

Las matrices se denotan con letras mayúsculas; por ejemplo, las matrices 𝐴, 𝐵 ó 𝐶. Los elementos de las matrices se
representan con letras minúsculas ysubíndices que indican el lugar ocupado dentro de la matriz; por ejemplo, los
elementos 𝑎 𝑖𝑗 , 𝑏 𝑖𝑗 y 𝑐 𝑖𝑗 , pertenecen a las matrices 𝐴, 𝐵 y 𝐶, respectivamente. La notación de los elementos de una
matriz permite obtener una nueva representación para la matrices; en general, una matriz también pude escribirse
como
𝐴

El número de columnas y renglones de una matriz informan sobre una propiedadimportante conocida como orden,
dimensión o tamaño; es decir, el orden se define con el número de renglones por el número de columnas.

EJEMPLO 6.1. Sean las matrices 𝐴, 𝐵 y 𝐶.

3 −4 0
𝐴=� 0
0 1�
−1 −9 2

0 0 0 1
𝐵 = �0 1 0 0�
1 0 0 0

1
𝐶=� �
2

La matriz 𝐴 tiene tres renglones y tres columnas, por lo que su orden es 3 × 3; la matriz 𝐵 tiene un orden 3 × 4; en
tanto, la matriz 𝐶tiene un orden 2 × 1.

Igualdad de matrices

Al igual que los conjuntos numéricos o los polinomios, es posible definir la igualdad de matrices.
Sean las matrices

1

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

𝐴 = �𝑎 𝑖𝑗 �

𝑚×𝑛

,

𝐵 = �𝑏 𝑖𝑗 �

𝑝×𝑞

ALG

2013

Se dice que 𝐴 = 𝐵, si y sólo si 𝑚 = 𝑝, 𝑛 = 𝑞 y 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑏 𝑖𝑗 ; es decir, la igualdad entre dos matrices se cumple si tienen el
mismoorden, y además, el elemento que ocupa el renglón 𝑖 y la columna 𝑗 es el mismo en ambas matrices.
EJEMPLO 6.2. Sean las matrices 𝑊, 𝑋, 𝑌, y 𝑍.
1 0 0
𝑊 = �0 0 0�
0 0 1

1 0 0
𝑋 = �0 1 0�
0 0 1

1 0 0
𝑌 = �0 1 0�
0 0 1

1
𝑍=� �
0

Las matrices 𝑊 y 𝑋 no son iguales, ya que el elemento 𝑤22 es diferente del elemento 𝑥22 , aún cuando tienen el mismo
orden; las matrices 𝑋 y 𝑌 sí soniguales, debido a que tienen el mismo orden, y el elemento 𝑥 𝑖𝑗 es igual al elemento 𝑦 𝑖𝑗 ;
finalmente, las matrices 𝑌 y 𝑍 no son iguales, ya que su orden es diferente.

Operaciones con matrices
Las reglas que rigen las operaciones con matrices son similares a las establecidas en los campos numéricos ordinarios; la
diferencia radica al utilizan tablas y sus correspondientes elementos, en lugar denúmeros.
Dadas dos matrices 𝐴 y 𝐵, del mismo orden 𝑚 por 𝑛, su suma es una matriz de orden 𝑚 por 𝑛, calculada sumando cada
uno de los elementos homólogos de las matrices 𝐴 y 𝐵; es decir,

Adición

𝐴+ 𝐵 = 𝐶
�𝑎 𝑖𝑗 � 𝑚×𝑛 + �𝑏 𝑖𝑗 � 𝑚×𝑛 = �𝑎 𝑖𝑗 + 𝑏 𝑖𝑗 �

𝑚×𝑛

−2 0 1
3 1 0
EJEMPLO 6.3. Sean las matrices 𝑃 = �
�, 𝑄 = �
� y 𝑅 = (−1 −2 −3). La suma de 𝑃 y 𝑄 se
7 −8 2
−6 9 −1
calcula delsiguiente modo:
−2 0 1
3 1 0
𝑃+ 𝑄=�
�+�
�
7 −8 2
−6 9 −1
1 1 1
=�
�
1 1 1

En tanto que, la suma 𝑃 + 𝑅 y la suma 𝑄 + 𝑅 no existen, ya que el orden de 𝑃 y 𝑄 (2 × 3) no es el mismo que el orden
de 𝑅 (1 × 3). En este caso, se dice que las matrices 𝑃 y 𝑅 (o 𝑄 y 𝑅) son inconsistentes para la suma.

La suma de matrices posee propiedades importantes, que son equivalentes a la sumanumérica tradicional. Dadas las
matrices 𝐴, 𝐵 y 𝐶, las tres de orden 𝑚 × 𝑛, entonces se cumple






La asociación 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶.
La conmutación 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴.
La existencia del elemento neutro 𝐴 + 𝑂 = 𝐴.
La existencia del elemento inverso 𝐴 + (−𝐴) = 𝑂.

La sustracción de matrices se cumple como un caso especial de la adición; es decir, dadas dos matrices 𝐴 y 𝐵, su...