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Ecuaciones Cuadráticas

Objetivos
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
Identificar ecuaciones cuadráticas.
Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de Factorización.
Resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de completar al cuadrado.
Usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas.

Introducción
En la aplicación siguiente, dejar la velocidadinicial y el ángulo incial en 60 y oprimir el botón lanzar. La trayectoria del proyectil es una parábola y el proyectil está en la tierra (y = 0) cuando x = 0 (al comienzo) y x = 318.13 (al final). (Si no ves la aplicación, por favor descarga flashplayer aquí).
Aplicación Cortesia de www.educaplus.org
Al cambiar los parámetros iniciales, la trayectoria del proyectil cambia pero siempre es unaparábola, así x e ysatisfacen la ecuación yax2bxc donde a, b y c son números reales, a0. Los valores de x donde el proyectil tocará la tierra ocurren cuando la altura y = 0. Como consecuencia, son los valores de x que satisfacenax2bxc0. Una ecuación que se puede escribir en esta forma se llama una ecuación cuadrática. 

En la siguiente aplicación al escoger a = 1, b = -3 y c = 2 resulta la gráfica de laecuación cuadrática y = x2 - 3x+ 2. Los valores de x donde y = 0 se ven al dar un click en la caja rotulada Intersección con el eje. En este caso, nos dice que las soluciones de la ecuacion cuadratica x2 - 3x + 2 = 0 son x = 1 y x = 2. 
Cambiar los parámetros a,b y c para ver las soluciones de otras ecuaciones cuadráticas geométricamente.
Es importante observar que a veces hay una solución, aveces 2 soluciones y a veces ninguna solución. Esto significa geométricamente que la gráfica de una ecuación cuadrática puede cortar en el eje de x en dos , una o ninguna ocasión.
Aplicación Cortesia de www.educaplus.org
Ya hemos visto soluciones geométricas de ecuaciones cuadráticas utilizando estas aplicaciones interactivas. Por supuesto podríamos graficar a mano estas ecuaciones y tambiénhallar en muchos casos la solución aproximada o exacta. La próxima lección se dedicara al conseguir soluciones algebraicas mediante diferentes métodos.
Método de factorización
El método de factorización se basa en la siguiente propiedad:
La propiedad del producto cero dice:
AB = 0 si y solo si A=0 ó B=0
Lo que significa que si el producto de dos números es cero, entonces alguno de ellos o ambosson igual a cero.
Para resolver una ecuación cuadrática con el método de factorización, seguiremos los siguientes pasos:
1. Escribir la ecuación en forma ax2bxc0.
2. Factorizar. (Si has olvidado como factorizar, haz click Aqui)
3. Haciendo uso de la propiedad del producto cero, igualar cada factor a cero y resolver para x.
4. Verificar la solución.
Ejemplo 1:
Resolver la siguienteecuación x24x12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. 
x24x120
Paso 2: Factorizar
x24x120x6x20
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x60x6
x20x2
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6
x24x120  6 24  6 120362412000
Verificar x=2
x24x120 2 24 2 1204812000

Ejemplo 2:
Resolver la siguiente ecuación 2x235x
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en laforma general. 
2x25x30
Paso 2: Factorizar
2x25x302x1x30
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
2x102x1x12
x30x3
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-1/2
2x235x2  12 235  12 2143512123525252
Verificar x=3
2x235x2 3 235 3 29315183151515



Completar al Cuadrado
Recuerde que un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma:
x22xyy2
o la forma
x22xyy2
Recordemosque un trinomio cuadrado perfecto se factoriza fácilmente así
x22xyy2xy2
o
x22xyy2xy2
La idea del método de completar al cuadrado es agregar una cantidad constante a una expresión para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto.
Así, para convertir la expresión x2bx a un cuadrado perfecto se debe agregar b22 .
De esta forma, la expresión será factorizada así x2bxb22xb22 .
Por otro...