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3.1 Limite de una sucesión:
Definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto comoqueramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).
Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.
Límite de una sucesión de números reales:
Eltérmino general de una sucesión tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:
.
Notación
o bien
o también

o simplemente

Ejemplos
La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4+ 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
Propiedades
Si una sucesión tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
Si una sucesión tiene límite negativo, existe un términoa partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
Si una sucesión tiende a menos infinito y entonces tiende a 0.
Límite de una sucesión compleja:
Se dice que la sucesión converge hacia un complejo si y solo si

Nótese que es la misma definición que para , conmodulo en lugar del valor absoluto.
Se puede escribir
o más simplemente, si no hay ambigüedad
Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene modulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, es también completo).
Ejemplos
Sucesiones en ó
Sucesionesen
Sucesiones en el espacio
Sucesiones en el espacio
Sucesiones en el espacio de las funciones continuas

3.2 Limite de una funcion de variable real:
Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:
f:D————->Rx————->x2.
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
1. El conjunto inicial o dominio de la función.
2. El conjunto final o imagen de la función.
3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:
f:R ——–>R
x———>x2.
Asigna a cada número real su cuadrado.Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.
Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:
lim(f)=R+.
La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadradopara obtener la imagen”.
Otra definición:
Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.
Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante...