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Colegio González Valencia

Omar Fernando Castañeda Campa
Trabajo de Fin de Año
Matemáticas

6 de Junio del 2013





















Ecuaciones Cuadráticas

1.1.1 Resolución de Ecuaciones Cuadráticas

Teoría: Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c =10
3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Prueba y Error
3. Fórmula Cuadrática

Uso y aplicación: Las ecuaciones cuadráticas sirven para calcular la incógnita, cuando esta elevado a la potencia 2.
Laaplican los ingenieros en sus cálculos, los agrimensores en sus mediciones, los contadores o quienes emplean a las matemáticas como herramienta de su trabajo, es decir la mayoría.

1.1.2 Método Cuadrático
Teoría: La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)
Uso y aplicación: Las funciones cuadráticas modelan gran parte de situaciones del mundo físico y en la vida diaria las podemos utilizar en construcciones, como: puentes, casas, arcos, etc.
Paso a paso:tenemos que tener en cuenta la fórmula general:

Recuerda estostips:
°El "±" quiere decir que tienes que hacer más y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!


Paso a paso:
Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0
Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a
Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1
Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5
Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10
Respuesta: x = -0.2 y -1(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

1.1.3 Método de Factorización

Teoría: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser unnúmero, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación.

Uso y aplicación: La factorización modela gran parte de situaciones del mundo físico y en la vida diaria las podemos utilizar en construcciones, como: puentes, casas, arcos, etc.
Paso a paso:x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]
( x + ) (x - )= 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.


1.1.4 Método de Prueba y ErrorTeoría:Se utiliza para resolver ecuaciones complicadas o que no sabemos resolver.
Primero se pasa todo al mismo miembro para que un miembro de la ecuación sea 0, la ecuación queda de la forma f(x)=0.
Se trata de encontrar dos valores a y b (a0 y f(b)10
15
6(15)+10=100
>15
18
6(18)+10=120
=20

Ejemplo factorización
Ejemplo 1









Problemas Aplicados
2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 +2)

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0 ; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

x4 − 16

x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son X = −2 y X = 2

1.2 Sistema de Ecuaciones
1.1.1 Método Gráfico
Teoría: Es...