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CÁLCULO I Nombre: 1er Apellido: 2o Apellido:

Evaluación 07 de noviembre 2011 Núm. Matrícula NOTA

Ejercicio 1. 1) Sea la función fn : R ! R de…nida como: fn (x) = x1=(2n+1) 1 + jxj

con n = 0; 1; 2; ::::. 1.1- Estudiar los puntos de R y los valores de n para los que fn es derivable. 1.2- Sea f la función del apartado anterior con n = 0; f (x) = f0 (x). ¿ Existe f 1 ? Calcular su dominio.1.3- Sea la función g(x) = sen (f (x)) con f la función del apartado anterior. Decir cuáles son el dominio y el recorrido de la función g 1 y calcularla explícitamente. 1.4- Si f y g son las funciones de los apartados anteriores, calcular una expresión general para f (n) (x) cuando x > 0. Calcular g (3) (x) en función de las derivadas de la función f . =4 Decir cuanto vale g (2) (x) en el punto x =. 1 =4 Solución 1.1- La función fn se puede escribir como: 8 > x1=(2n+1) > > cuando > < 1+x fn (x) = > 1=(2n+1) > x > > : cuando 1 x

x 2 [0; 1) x 2 ( 1; 0)

Es claro por tanto que la función es derivable en toda la recta real y para todo n 2 N excepto quizá en x = 0. En x = 0 las derivadas por la derecha y por la izquierda son respectivamente: (fn )0+ (0) = fn (x) x!0 x fn (x) (fn )0 (0) =lim x!0 x lim + fn (0) x1=(2n+1) =(1 + x) = lim x!0+ 0 x 0 1=(2n+1) fn (0) x =(1 x) = lim x!0 0 x 0 0 x1=(2n+1) x!0 1+x 1=(2n+1) 0 x = lim x!0 1 x = lim +
1

1

Para n = 0 las dos derivadas laterales valen 1 y por tanto la derivada existe y vale 1. Para n > 0 los límites anteriores valen +1 y por tanto la función no es derivable en el 0. Luego f es derivable en todo R para n = 0 y derivable enR f0g cuando n = 1; 2; 3; :::.

1.2- Para que exista f 1 es necesario que la función f sea inyectiva. Obviamente dados x; y > 0 es claro que f (x) = f (y) implica que x = y porque: x y = ) x(1 + y) = y(1 + x) ) x = y 1+x 1+y y de la misma manera se obtiene que, si x; y < 0, entonces f (x) = f (y) implica que x = y. Si x > 0 e y < 0 no puede ocurrir que f (x) = f (y) porque y x = ) x(1 y) = y(1+ x) 1+x 1 y que no tiene solución porque x(1 y) > 0 e y(1+x) < 0. Luego la función f es inyectiva en todo R. Otra manera de estudiar la inyectividad es comprobar que la función es creciente. Basta probar que cuando x; y > 0 se tiene que x=(1 + x) > y=(1 + y) implica que x > y y que si x; y < 0 se cumple que x=(1 x) > y=(1 y) implica que x > y. En el primero de los casos se tiene que: x y 1+x 1+y1 1 > ) < ) < )x>y 1+x 1+y x y x y y en segundo se opera de la misma manera. Se llega por tanto a la conclusión de que la función es creciente y además limx! 1 f (x) = 1 y limx!1 f (x) = 1. Por tanto el recorrido de f es ( 1; 0] [ [0; 1) = ( 1; 1) y consiguientemente el dominio de f 1 es ( 1; 1). 1.3- La función f 1 : ( 1; 1) ! R se puede calcular explícitamente. Puesto que f (x) > 0 si x > 0 y f(x) < 0 si x < 0, f 1 (y) para y 2 ( 1; 0] es la inversa de la función x=(1 x) y f 1 (y) para y 2 [0; 1) es la inversa de la función x=(1 + x). Por tanto, para y 2 ( 1; 0] la inversa de f se obtiene despejando la x en y = x=(1 x), es decir, f 1 (y) = y=(1 + y) y para y 2 [0; 1) de y = x=(1 + x), es decir, f 1 (y) = y=(1 y). Luego: 8 y > > 1 + y cuando y 2 ( 1; 0] < f 1 (y) = > y > : cuando y 2(0; 1) 1 y

La función g tiene como dominio el de f y como recorrido el de la función seno cuando actúa sobre el intervalo f (R) = ( 1; 1) es decir sen (( 1; 1)). Como en ( 1; 1) la función seno es creciente resulta que el recorrido de g es el intervalo abierto I = ( sen ( 1); sen (1)). Luego g : R !I y la función inversa g 1 : I ! R tiene como dominio I y como recorrido toda la recta real. g 1 seobtiene como g 1 (y) = f 1 ( arcsen y) y por tanto: 8 arcsen y > > 1 + arcsen y cuando y 2 ( 1; 0] < 1 g (y) = > arcsen y > : cuando y 2 (0; 1) 1 arcsen y

1.4- Para x > 0 se tiene que f (x) = x=(1 + x) y por tanto f 0 (x) = (1 + x x)=(1 + x)2 = 1=(1 + x)2 ; f 00 (x) = 2=(1 + x)3 y así sucesivamente de modo que se obtiene sin di…cultad que cuando x > 0: n! f (n) (x) = ( 1)n+1 (1 + x)n+1 2...