No Tengo Aun Ninguno

DISTANCIAL ENTRE DOS PUNTOS.

Las herramientas analíticas básicas son formulas para traducir los conceptos geométricos en ecuaciones y en expresiones algebraicas equivalentes.

Para determinar estas formulas, comenzaremos con el mas sencillo en la Geometría Analítica, de acuerdo con el teorema de Pitágoras.

EJEMPLO:
1)Demostrar que los cuatro puntos son vértices de un paralelogramo.A)(0, -2.5)
B)(6, 0)
C)(3, 4)
D)(-3, 1.5)

Solución:

El cuadrilátero del problema es indicado en la figura siguiente:


Y C(3, 4)





D(-3, 2.5) B(6, 0)
X´
0




A (0, -2.5)

Y´



Por la formulade distancia entre dos puntos, tenemos:

AB = (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2 = √ (6 – 0)2 + (0 – (-2.5))2

AB = √ 62 + 2.52 = √ 36 + 6025 = √ 42.25 = 6.5

BC = √ (3 – 6) + (4-0)2 = √ -32 + 42 = √ 9 + 16 = √25

BC = 5

CD = √ (-3 –3)2 + (1. 5) = √ -62 + 2.52 = √ 36 + 6.25

CD = √42.25 = 6.5

AD = √ (0 – 3)2 + (1.5 – (2.5)) = √ -32 + 42 = √ 9 + 16

AD = √25 = 5

2)Compruébeseque el triangulo con los vértices en los puntos A(-4, 3), B(0, 2), C(2, -5) es obtusángulo.
A(-4, 3) y

B(0, 2)



x





C(2, -5)

AB = √ (0 – (4))2 + (2 – 3)2

AB = √ 42 – 12 = √ 16 + 1 = √17

BC = √ (2 – 0)2 + (-5 – 2)2 = √22 - 72 = √4 + 49 = √53
AC = √(2 – (-4)2 (-5 –3) 2 = √22 – 72 = √ 4 + 49 = √53
AC = 10

3)Demostrar que lospuntos A(3, -2), B(0, 4), C(-2, 8)son colineales, es decir, que esta sobre la misma línea.

Solucion:

AB = √(0 – 3)2 + (4 – (-2))2 = √-32 + 62 = √9 + 36
AB = √45 = √9(5) = 3 √5
BC = √(-2-0)2 +(8 – 4)2 = √-22 + 42 = √4 + 16
BC = √20 = √4(5) = 2√5
AC = √(-2 – 3)2 + (8 – (-2))2 = √-52 + 102 = √25 + 100
AC = √125 = √25(5) = 5√5

Sustituyendo obtenemos:
3√5 + 2√5 = 5√5

5√5 = 5√5, lospuntos son colineales



AREA DE UN TRIANGULO.

Encontrar el arrea de un triangulo cuyos vértices son:

A(-2, 3) Y
B(-4, -1) A(-2,3)
C(3, -2)





B(-4, -1) X


C(3, -2)




Sustituyendo en:
A = ½ (X1 Y2 + X2Y3 + X3Y1 – X1 Y3 – X2Y1 – X3Y2)
A = ½ [(-2)(-1) + (-4)(-2) + (3)(3) – (-2)(-2) – (-4)(3) – (3)(-1)]
A = ½(2 + 8 + 9 – 4 + 12 + 3) = ½ (30) A = 15U2

Usando determinantes se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:


X1 y1 1

A = ½ X2 y2 1

X3 y3 1



-2 3 1
-4 -1 1
½ 3 -2 1
-2 3 1
-4 -1 1



= ½ [(2 + 8 + 9) – (12 + 4 – 3)]
A = ½ [19 –(-11)] = ½ (19 + 11) = ½ = 15U2




AREA DE UN POLÍGONO.

La formula para contraer el área de un polígono de mas de tres lados, se expresan por un determinante de orden n.


X1 y1

A = ½ X2 y2

X3 y3

X4 y4

. .


Ejemplo:
Hallar el arrea del polígono cuyas coordenadas son los vértices:

A(1, 5)
B(-2, 4)C(-3, -1) y
D(2, -3)
E(5, 1) (1, 5)
(-2, 4)


(5,1)

(-3, -1) X




(2, -3)


1 5

-2 4

A= ½ -3 -1 = ½ [(4 + 2 + 9 + 2 + 2 + 25)-(1 – 15 – 2 –12 –10)]

2 -3

5 1

1 5

A = ½ [42 – (-38)] = ½ (42 + 38) = ½ (80) = 40U2
1) Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta quepasa por los puntos P1(-1, -5) y P2(5, 4).

SOLUCION:

y2 – y1 4 –(-5) 9 3
M = ------- = --------- = --- = ---- = 1.5
X2 – x1 5 – (-1) 6 2

.
Inclinación P1 P2 = ángulo. Tangente 1.5 . . α = 56° 18´35´´

2)Hallar el ángulo que forma con el eje X la recta que une los puntos A(-2, 1) y B(2, -3)

Solución:

y2 – y1 -3 – 1 -4...