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lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nocionesintuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente comosinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.1
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
Índice [ocultar]
1 Historia
1.1 Siglo XIX
1.2 Lógica simbólica
2 Concepto de lógicamatemática
2.1 Sistemas lógicos
2.2 Teorías axiomáticas
3 Áreas
4 Tipos de sistemas lógicos
4.1 Lógica proposicional
4.2 Lógica de predicados
4.3 Lenguajes y estructuras de primer orden
5 Aspectos metalógicos y algorítimicos
5.1 Teoría de modelos
5.2 Teoría de la computabilidad
5.3 Teoría de la demostración
6 Véase también
7 Referencias
7.1 Bibliografía adicional
7.2 Enlaces externos
o XIXLógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su laborpermaneció desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba sucentro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico,construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).
[editar]Lógica simbólica
Leopold Löwenheim (1915) y Thoralf Skolem (1920) formularon el llamado teorema de Löwenheim-Skolem, que afirma que cualquier sistema axiomático basado en la lógica de primer orden no puede controlar la cardinalidad de la estructuras no finitas que satisfacen los axiomas de dicho sistema. Skolem comprendió que este teoremapodría aplicarse para las formalizaciones de primer orden de la teoría de conjuntos, sinedo dicha formalización numerable, existiría un modelo numerable para dicha teoría aun cuando la teoría afirma que existen conjuntos no contables. Este resultado contraintuitivo es la conocida paradoja de Skolem.
En su tesis doctoral, Kurt Gödel (1929) demostró el teorema de completitud, que establece unacorrespondencia entre la sintaxis y la semántica de la lógica de primer orden. Gödel usó dicho teorema de completitud para probar el llamado teorema de comapcidad, demonstrando la naturaleza fintiaria del operador de consecuencia lógica. Estos resultados ayudaron a establecer a la lógica de primer orden como el tipo de lógica dominante en las matemáticas actual.
En 1931, Gödel publicó On Formally...