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PROBLEMAS DE CALCULO III.

Problema 1. Usar la f´rmula (i + j + k) · i = 1 para encontrar el ´ngulo entre la
o
a
diagonal de un cubo y uno de sus lados. Hacer un esbozo o diagrama.
Problema2. Encontrar la distancia del punto (2, 8, −1) a la recta que pasa por
1
(1, 1, 1) y que tiene la direcci´n del vector √3 (i + j + k).
o
Problema 3. Encontrar la ecuaci´n del plano que pasa por elorigen y es ortogonal
o
al vector i + j + k.
Problema 4. Hallar la ecuaci´n del plano que pasa por los puntos (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3).
o
Problema 5. Dado dos vectores a y b mostrar queel vector v = ||a||b + ||b||a
bisecta el ´ngulo entre a y b.
a
Problema 6. Sean P1 y P2 puntos en el plano con coordenadas polares (r1 , θ1 ) y
(r2 , θ2 ) respectivamente. Sean u1 el vector delorigen a P1 y u2 el vector del origen
a P2 . Mostrar que
u1 · u2 = r1 r2 cos(θ1 − θ2 )
Problema 7. Encontrar un vector unitario normal a i − j y a i + k y con componente positiva k.
Problema 8.Encontrar el volumen del paralelepipedo generado por los vectores
i + j, i − j, j − k.
Problema 9. Hallar el ´rea del paralelogramo generado por los vectores 3i − 2j + k
a
y 8i − k.
Problema 10. Seadada la funci´n compuesta z = uw + wu+v , donde u = x + y,
o
v = x − y y w = xy. Expresar z directamente en forma de la funci´n de x e y.
o
eω + eϕ
eω + eϕ
; η=
, ω = ln(x2 +
2
2
y 2 + z 2 ),ϕ = 2 ln(x + y + z). Expresar u directamente en forma de la funci´n de
o
x, y y z. Es u una funci´n racional entera de ξ y η, de ω y ϕ, de x, y, z?
o
Problema 11. u = (ξ + η)2 − ξ 3 − η 3 ; ξ =Problema 12. Esbozar las superficies siguientes:
1. z = x2 + 2
2. z = |y|
1

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PROBLEMAS DE CALCULO III.

2

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4.
5.
6.
7.
8.

z 2 + x2 = 4
z = x2 + y 2 − 2x + 8
z = 3x2 + 3y 2 −6x + 12y + 15
z = x2 + y 2
z = m´x{|x|, |y|}
a
x2 + 4y 2 + 16z 2 = 1

Problema 13. Hallar las curvas de nivel de la funci´n dada implicitamente por
o
la ecuaci´n
o
z + x ln z + y = 0
....