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1. La Derivada y sus aplicaciones
1.1 Introduccion
En 1604 Galileo formulo la ley de la caida de los cuerpos : la caida de los cuerpos es un movimiento uniformemente acelerado. Matematicamente se expresa diciendo que el espacios (t) recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo:
st=g2t₂
Pero esto no satisfizo a Galileo, quien deseaba comprender la esencia del movimiento de la caída y fueaquí donde se equivoco, al igual que otros grandes del pensamiento científico como Leonardo y Descartes. El creyó que el principio era: la velocidad del cuerpo en caída libre es proporcional a la distancia recorrida. Ahora, con el cálculo diferencial e integral no es difícil demostrar que este principio no conduce a la ley ya establecida. Mucho se ha escrito sobre este famoso error, de preferirformular la ley como la velocidad proporcional al espacio. Algunos historiadores de la ciencia lo atribuyen, además de la ausencia del cálculo, al rol jugado por la geometría en los albores de la ciencia moderna.
Para llegar a comprender la esencia del movimiento, era necesario llegar a la idea fsica
realmente difcil de velocidad instantanea. Sea
s=f(t)
Una función que nos da la posición de unmóvil en el instante t. para encontrar la velocidad v en un instante t=to. Considerando el intervalo tiempo transcurrido entre to y to+h. h≠0. El camino recorrido en el intervalo dado es
∆s=fto+h-f(to)
La velocidad promedio v es
v=limh→0 f(to+h)-f(to)h
Este límite corresponde a la derivada de una función y dice la rapidez con que esta variando la función. Fue Newton en 1665 quien llego a esteconcepto llevando el problema físico a una formulación geométrica, que establece la equivalencia entre la existencia del límite v y el problema de trazar la recta tangente en un punto tal grafico de la función f.
En primera instancia, no es claro que es la tangente a una curva plana en un punto dado, pues no es equivalente al caso de la geometría elemental de la circunferencia, en que la tangente esla recta que tiene solo un punto común con ella. Para una curva cualquiera esto pierde sentido.
Consideremos la curva y = f(x) y sobre ella un punto P de abscisa a. Para definir la tangente en el punto P consideremos otro punto P de abscisa a +h y tracemos la secante P0P que forma un ángulo con el eje X. Entonces, la recta tangente en el punto P es la recta que se obtiene como caso limite deestas secantes cuando el punto P se acerca indefinidamente a P0. La tangente del ángulo es:
tana=QPPoQ=fa+h-f(a)h
Para tener la inclinación de la recta tangente debemos pasar el limite y obtenemos que:
tana=lim⁡tana=lim(f(a+h)-f(a)h
Con los conocimientos de geometría analtica sabemos que conociendo un punto y la inclinación de la recta, ella está completamente determinada.
grafica

1.2.1Extremos relativos
La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) estédefinida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.

Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten.

Ejemplo
Sea

f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Aquí es su gráfica.Mirando la gráfica, se observa que f tiene:

Un máximo relativo a (0, 0);
Un mínimo relativo a (1, - 1);
Un máximo relativo a (4, 8).

1.2.2 Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para...