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Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vérticeestá en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de laparábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro espositivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta eldesarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará acontinuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V unpunto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasapor Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
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Al ser PM paralela a AC, lostriángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
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Usando nuevamente los paralelismos:
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Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo
arroja la expresión moderna y=ax².