Numeros Complejos

Álgebra y Geometría Analítica

Prof. Gisela Saslavsky

NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción: El conjunto de números complejos, C, puede verse como una ampliación del conjunto de los
números reales quepermite resolver ecuaciones del tipo
. Para ello necesitamos números cuyos
cuadrados sean negativos, así que vamos a definir el número i, llamado unidad imaginaria, cuyo cuadrado vale -1
(
). Entonces, yaceptando que las leyes de las operaciones definidas para números
reales siguen valiendo, tenemos:

Luego, los números complejos 2i y -2i son soluciones de la ecuación

Todo número real es un númerocomplejo y, para los números reales, su suma y producto como números
complejos son iguales a su suma y producto como números reales.
Todo número complejo se puede escribir en forma única como elbinomio a + b i, con a y b números reales. El
número real a se llama parte real del número complejo y el número real b se llama parte imaginaria.

Las siguientes propiedades de las operaciones aritméticasen C son válidas:

Suma y producto en forma binómica:

Conjugado y módulo:
El conjugado del número complejo

es el número complejo

y su módulo o valor absoluto es el número real no negativoPropiedades:

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El inverso del número complejo

Prof. Gisela Saslavsky

es

. O sea

Cociente en forma binómica:
Ejemplo. Dados z1  2  3i y z2  1  2i , hallar (a) z2 y (b)z1
.
z2

(a) Como z2  1  2i entonces z2  1  2i
(b) Para hallar

z1
, sin tener que memorizar la fórmula, multiplicamos y dividimos por el conjugado z2 .
z2

z1
2  3i
2  3i 1  2i (2  3i)(1 2i)




z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i)( 1  2i)


2  4i  3i  6i 2 8  i
8 1

  i
2
2
5
5 5
(1)  (2)

Raíces complejas de la ecuación real de segundo grado
Si el discriminante dela ecuación ax2  bx  c  0 (a, b y c números reales) es negativo, puede sustituirse el signo
negativo por i 2 y de esa forma obtener las raíces complejas de la ecuación.
Ejemplo. Resolver la...