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DEDICATORIA


A DIOS, por habernos guiado con sabiduría para la elaboración y presentación de este trabajo de investigación y al mismo tiempo a nuestros seres queridos por darnos el fortalecimiento de nuestra lucha continúa. Y a todos los que creen en nosotros y nos brindan su apoyo, a nuestros profesores, a ellos nuestra eterna gratitud y respeto.AGRADECIMIENTO

Agradecemos sinceramente al profesor por brindarnos conocimientos importantes y eficaces para la realización de dicho trabajo de investigación, en forma clara, real y sencilla, a través de su asesoramiento y la oportunidad de demostrar nuestros conocimientos adquiridos en las aulas.
Queremos manifestar nuestra gratitud a la Universidad Señor de Sipán, Facultad de Ingeniería, Arquitectura yUrbanismo, particularmente a la Escuela de Ingeniería Civil por habernos acogido en sus aulas.
A Dios por la vida y las bendiciones que a diario nos brinda, para de esta manera poder presentar con éxito nuestro trabajo.






APLICACIONES DE LA DERIVADA –MAXIMOS Y MINIMOS

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente odecreciente en dicho punto:

 Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva
 Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.
Es decir,

Si
Si














Como  ,es decir, la función es creciente en













En este caso  , es decir, la función es decreciente en x = a
Estudiar la monotonía de unafunción es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.

Se procede de la siguiente forma:
Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante
Con los puntos en los que se anula la derivada y los que no pertenecen al dominio dividimos el dominio en intervalos.
Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalosresultantes.

Ejemplo 1.

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Hallamos la derivada:
La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:


Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos
, y
Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:
Para x = 0, , es decir, positiva
Para x = 2, , esdecir, negativa
Para x = 4, , positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:
Intervalos
(- ∞, 1)
(1, 3)
(3, +∞)
Signo de la derivada
+
-
+
Función




Máximos y mínimos.
Son los puntos en que la función cambia de monotonía.

 Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces


En el punto de abscisa x = c lafunción pasa de creciente a decreciente

Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal
 Si y existe la segunda derivada, se verifica:
Si , hay un mínimo relativo en el punto c
Si , hay un máximo en dicho punto.

Demostración:
Lo hacemos para el caso de mínimo:
Si la función es creciente en c luego
Y como , , es decir, la derivada es negativa a laizquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.

Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:

Criterio de la primera derivada:

Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente.Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la segunda derivada:
Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante.
Hallamos la segunda derivada.
Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada.
Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.

Ejemplo 2....