ola que ace

CAP´
ITULO

2

MATRICES

No hay problema fundamental de la
mec´nica cu´ntica que no puede ena
a
tenderse en t´rminos de las matrices
e
2 × 2.(Por eso nos dice algo importante acerca de las matrices 2 × 2.)
-E.P. Wigner

El objetivo de este cap´
ıtulo, es estudiar la estructura algebraica de las matrices,
y dar un m´todo general para calcular la matriz inversa.
e
Una matrizrectangular A sobre un campo F es un arreglo rectangular:



A=


···
···

a1n
a2n
.
.
.

am1 am2 · · ·
19

amn

a11
a21
.
.
.

a12
a22







CAP´
ITULO 2. MATRICES

20

formada por arreglos horizontales y verticales que llamamos,

renglones, ri :=

ai 1 ai 2 · · ·

ain


a1j
a 
y columnas cj :=  2j , respectiva ··· 
amjmente.
El ´
ındice para los renglones lo denotamos por, i = 1, 2, ..., m y para el de columnas
j = 1, 2, ..., n, donde todos los elementos aij ∈ F . A las matrices rectangulares las
denotamos por las letras mayusculas, A, B, ..., Z . Si n = m decimos que son matrices
cuadradas. Una forma compacta de escribir a la matriz A es, A = [aij ]. Al conjunto
de todas las matrices rectangulares de tama˜o m× n las denotamos por Mm×n (F ).
n

2.1.

El ´lgebra de matrices
a

Definici´n 2.1. (Igualdad de matrices) Dos matrices A y B son iguales, si
o
son del mismo tama˜o y todos los elementos correspondientes son iguales, es decir,
n
A, B ∈ Mm×n (F ) y si A = [aij ] y B = [bij ], entonces aij = bij .
Ejemplo 2.1.1.
1. Consideremos las siguientes matrices:


A=

3 −4 1
2 0 −7

0 −1
7
B= 5
−6 9

y

C=

3 −4 1
2 0 −7

Entonces se cumple que A = B , B = C y A = C .
Definici´n 2.2. (La matriz cero) Para la matriz en Mm×n (F ), que tiene todos sus
o
elementos iguales a cero, es llamada la matriz cero de tama˜o m × n y es denotada
n
por el simbolo 0.
Ejemplo 2.1.2.

´
2.1. EL ALGEBRA DE MATRICES

21

Las matrices cero de orden 2, 3 y 4 son lassiguientes respectivamente.




0000
000
0 0 0 0
00

0 0 0
0=
0=
0=
 0 0 0 0 .
00
000
0000
Definici´n 2.3. (La matriz inversa aditiva) Sea A = [aij ] una matriz rectangular
o
entonces su matriz inversa aditiva −A se obtiene remplazando todos los elementos
de A por sus inversos aditivos respectivamente, esto es,
−A = −[aij ] = [−aij ]
Ejemplo 2.1.3.
Consideremos lassiguientes matrices:


10 −1 5
D =  4 −2 3 
2 7 −11




−3 2
L =  4 −5 
0 −5

1. Calcule la matriz inversa aditiva de la matriz D y L.
Soluci´n: Simplemente cambiamos los elementos de la matriz, por sus inversos
o
aditivos respectivos, es decir:



−10 1 −5
−D =  −4 2 −3 
−2 −7 11




3 −2
− L =  −4 5 
0
5

Definici´n 2.4. (Resta de matrices) La restade matrices se define para dos
o
matrices A = [aij ] y B = [bij ] del mismo tama˜o, de la forma usual, esto es,
n
A − B = [aij ] − [bij ] = [aij − bij ]
Ejemplo 2.1.4.
Consideremos las siguientes matrices:


0 −3 5
2 9
Q= 5
−2 7 1




10 −1 2
3 1
P = 8
−6 2 4

CAP´
ITULO 2. MATRICES

22

calcule Q − P y P − Q.
Soluci´n: Sustituimos los valores de las matrices
ocorrespondientes, es decir  


0 −3 5
10 −1 2
2 9 − 8
3 1 =
Q−P = 5
−2 7 1
−6 2 4

y hacemos las operaciones

0 − 10 −3 + 1 5 − 2
5−8
2−3 9−1 
−2 + 6 7 − 2 1 − 4




−10 −2 3
=  −3 −1 8 
4
5 −3





10 −1 2
0 −3 5
10 − 0 −1 + 3 2 − 5
3 1 − 5
2 9 = 8−5
3−2 1−9 
P −Q= 8
−6 2 4
−2 7 1
−6 + 2 2 − 7 4 − 1



10 2 −3
1 −8 
=3
−4 −5 3

Observemos que Q − P = P − Q.

Definici´n 2.5. (Suma de matrices) Sean A = [aij ] y B = [bij ] dos matrices de
o
mismo tama˜o m × n, la nueva matriz, A + B de tama˜o m × n, se obtiene sumando
n
n
los correspondientes elementos de A y B , esto es
A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ]
Ejemplo 2.1.5.
1. Consideremos las siguientes matrices:









0 −3 5...