OndasEstacionarias

Ondas estacionarias

IES La Magdalena.
Avilés. Asturias

Un caso interesante de interferencia de ondas surge cuando interfieren dos ondas idénticas que se
propagan en sentidos contrarios (lo que sucede, por ejemplo, cuando la onda reflejada y la incidente se
encuentran). Podemos obtener la onda resultante realizando la suma de las ondas que interfieren:

y1 = A sen (kx − ωt)
y 2 = A sen (kx +ωt)
y = y1 + y2 = A sen (kx − ωt) + sen (kx + ωt)
Si hacemos : α = kx − ωt y β = kx + ωt
Y teniendo en cuenta que :
sen α + sen β = 2 sen

(1)

α+β
α−β
cos
2
2

Tenemos :
sen (kx − ωt) + sen (kx + ωt) = 2 sen
= 2 sen

kx − ωt + kx + ωt
kx − ωt − kx − ωt
cos
=
2
2

2 kx
− 2 ωt
cos
= 2 sen (kx ) cos ( − ωt )
2
2

Y teniendo en cuenta que : cos ( α ) = cos ( −α )

sen (kx − ωt) + sen (kx + ωt) = 2sen (kx ) cos ( ωt )
Sustituyendo en (1) :
y = y1 + y2 = 2A sen (kx ) cos ( ωt )
El análisis del resultado obtenido nos muestra que hemos obtenido la ecuación de un MAS en el que la
amplitud depende de la distancia al origen (x):

y = 2A sen(kx) cos(ωt) = AR cos(ωt)
Donde AR = 2A sen(kx)
La onda resultante de la interferencia hace que los puntos vibren arriba y abajo, unos con mayor amplitud,
otroscon menor, algunos con amplitud nula, pero en situación estacionaria. La energía no se transmite de
unos a otros como en las ondas. Por eso la onda resultante recibe el nombre de onda estacionaria.
Los puntos de amplitud nula reciben el nombre de nodos y estarán situados a una distancia de:

AR = 2A sen(kx) = 0
sen (kx) = 0
kx = 0, π, 2π ... nπ
kx = n π
2π
x =n π
λ
x=n

λ
2

Los nodos de una ondaestacionaria se localizan a distancias
iguales a un número entero de semilongitudes de onda.

1

Física 2º Bachillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias

Ondas estacionarias

La amplitud tendrá su valor máximo (vientre) cuando el seno adquiera su valor máximo:

sen (kx) = ±1
π
π
π
kx = , 3 , 3 ...
2
2
2
π
kx = ( 2n + 1 )
2
2π
π
x = ( 2n + 1 )
λ
2
x = ( 2n + 1)

λ
4

( 2n + 1 )

π
2

Losvientres de una onda estacionaria se localizan a distancias
iguales a un número impar de cuartos de la longitud de onda.
Distancia entre dos nodos: λ

2

Distancia entre dos vientres: λ
Distancia nodo-vientre: λ

2

4

Observar que la onda correspondiente a la ecuación tiene un nodo en el, origen (x =0)

y = 2A sen(kx) cos(ωt)
NOTA

Para x=0, sen 0 = 0, AR =0

En algunos textos se da como ecuación paralas ondas estacionarias la siguiente:

y = 2A cos(kx) sen(ωt)
Esta ecuación se corresponde con una onda estacionaria que tiene un vientre en el origen (x=0), ya que en
este punto la amplitud vale 2A:

y = 2A cos(kx) sen(ωt)

Para x=0, cos 0 = 1, AR = 2 A

Observar (ver figura)
que en este caso los
vientres se localizan a
una distancia igual a
un número entero de
semilongitudes de
onda y los nodosa un
número impar de
cuartos de la longitud
de onda.

2

Física 2º Bachillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias

Ondas estacionarias

Ondas estacionarias en cuerdas vibrantes y en tubos

Un caso muy corriente de aparición de ondas estacionarias son las cuerdas vibrantes o las columnas de
aire confinadas en tubos.
En estos casos existe una restricción importante impuesta por las condicionesfísicas en los extremos de la
onda (condiciones de contorno).
• Cuerda fija en ambos extremos o tubo cerrado
Debido a que en los extremos debe existir un nodo no son posibles todas las ondas, debe cumplirse
que la longitud de la cuerda o el tubo sea igual a un número entero de semilongitudes de onda:

Condición para que se forme la onda:

L =n

λ
;
2

λ=

2
L
n

Donde n = 1, 2, 3...

El primer modode vibración se obtiene para n = 1 y se denomina modo fundamental o primer armónico.
Para n =2 tenemos el segundo modo de vibración o segundo armónico. Tiene un nodo en el centro.
Observar que la frecuencia de la onda es doble en este modo (long. de onda, mitad que la fundamental)
Para n =3 tenemos el tercer modo de vibración o tercer armónico. Tiene dos nodos. Observar que la
frecuencia de la...