Operaciones Con Binomios

Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27
(2x -3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Ejercicios resueltos de productos notables
1 Desarrolla los binomios al cuadrado.
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 · x · 5 + 52 =
= x 2 + 10 x + 25
2(2x - 5)2 == (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
4

2Desarrolla los binomios al cubo.
1 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
2(x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 =
= x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3(3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 =
=27x 3 − 54 x2 + 36 x − 8
4(2x+ 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 =
= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

3Desarrolla las sumas por diferencias
1(3x - 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x2 − 4
2(x + 5) · (x − 5) =
= x2 − 25
3(3x - 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x4 − 4
4(3x - 5) · (3x - 5) =
= (3x) 2 − 52 =
= 9x 2 − 25

Definición de monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la quelas únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
2x2 y3 z
Partes de un monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letraso variables.
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z

Operaciones con monomios
Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn =(a + b)xn
2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x2 y3 + 3x2 y3 z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
5 · 2x2 y3 z = 10x2 y3 z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otromonomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.
axn · bxm = (a · b)xn +m
5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3
División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
Ladivisión de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
axn : bxm = (a : b)xn − m

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia....