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AUXILIAR Control 2
MA3403 – PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA
PROFESOR: ALEXANDER FRANK
AUXILIAR: JUAN MUÑOZ
9 DE MAYO DE 2014

Problemas
P1. Suponga que el número de personas queentran a una tienda en un día cualquiera, es
una variable aleatoria Poisson de parámetro ߣ . Muestre que si cada persona que entra
tiene probabilidad ‫ ݌‬de ser hombre y (1 − ‫)݌‬de ser mujer, entonces el número de
hombres y de mujeres que entran a la tienda son variables Poisson independientes de
parámetros ߣ‫ ݌‬y ߣ(1 − ‫ )݌‬respectivamente.
P2. Sean ܺ e ܻ,respectivamente, las distancias horizontal y vertical de error cuando una
bala es disparada a un blanco dado, y asuma lo siguiente:
1. ܺ e ܻ son variables aleatorias continuasindependientes, con funciones de
densidad diferenciables.
2. La densidad conjunta ݂(‫݂ = )ݕ ,ݔ‬௑ (‫݂)ݔ‬௒ (‫ )ݕ‬de ܺ e ܻ depende de (‫ )ݕ ,ݔ‬sólo a
través de ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ
Demuestreque 1. y 2. implican que ܺ e ܻ distribuyen en forma normal de media 0 y
varianza ߪ ଶ constante.
P3. Se envía una señal ܵ desde un lugar A, distribuida en forma Normal de parámetros(μ, ߪ ଶ ). Si la señal efectivamente enviada es s, entonces en B se recibe una señal ܴ con
distribución Normal de parámetros (‫¿ .)1 ,ݏ‬Cuál es el mejor estimador de la señalenviada
si ܴ es igual a ‫?ݎ‬
P4. Sea ܺଵ , ܺଶ , … una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas, y sea ܰ una variable aleatoria no negativa yentera, independiente de la serie
ܺ, ݅ ≥ 1. Por último, se define:
ே

ܻ = ෍ ܺ௜
௜ୀଵ

Demuestre, mediante la función generadora de momentos, que:
1. ‫ܧ‬ሾܻሿ = ‫ܧ‬ሾܺሿ ∗ ‫ܧ‬ሾܰሿ
2. ܸܽ‫ܧ= )ܻ(ݎ‬ሾܰሿܸܽ‫ܧ( + )ܺ(ݎ‬ሾܺሿ)ଶ ܸܽ‫ݎ‬ሾܰሿ
Si Y es el dinero gastado por un total de N clientes en una tienda, donde cada cliente gasta
ܺ௜ , interprete el resultado de ‫ܧ‬ሾܻሿ....