Optmización Sin Restricciones

OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES
FUNCION CONVACA

Se dice que “f” es estrictamente cóncava en “S” si ∀ ū, ̄ ∈ S y ∀ λ ∈ (0; 1) sucede que
f (λ • ū + (1+λ) • ̄) > λ.f (ū)+(1+λ).f (̄).
En términos geométricos significa que la cuerda que une cualquier par de puntos de la grafica de “f” está por debajo de dicha grafica.

Se dice que “f” es cóncava en S si ∀ ῡ, ̄ ∈ S y∀ λ ∈ (0;
1) sucede que f (λ • ῡ +(1 +λ) • ̄) ≥ λ. f (ū) +(1+λ).f (̄). En términos geométricos significa que la cuerda que une cualquier par de puntos de la grafica de “f” no está por encima de la grafica.


FUNCION CONVEXA

La noción de convexidad es crucial dentro de la teoría de optimización. Por una parte se tiene la definición general de un conjunto convexo y partiendo de ella sedefinen a las funciones cóncavas,convexas,cuasicóncavas, cuasiconvexas, etc. La razón para definir estos conceptos es que, bajo ciertas condiciones de convexidad, las condiciones necesarias para un óptimo local son también suficientes para un óptimo global
Definición 10.1.1 Sea X ⊂ Rn . Se dice que X es convexo si para todo x ,y ∈ X  y para toda λ ∈ (0,1) se cumple  λx + (1−λ) y ∈ X

Notamosque todos los puntos del segmento entre x y y tienen la forma λx + (1−λ) y, donde 0 ≤ λ ≤ 1. Por lo tanto, la definicion anterior en la realidad dice que dados cualquier para de puntos de un conjunto convexo, todo el segmento que los une esta totalmente contenido en el conjunto.la figura 10.1 ilustra este concepto.
Proposición 10.1.2 sean A y B dos subconjuntos convexos de Rn . entonces:
a)A ∩ B es convexo,
b) A + B = {a + b: a ∈ A, b ∈ B} es convexo,
c) Para todo k ∈ R , el conjunto kA = { ka : a ∈ A } es convexo.

Demostración:
a) Sean x,y ∈ A ∩ B y λ ∈ (0,1)
Esto es, queremos verificar que λx + (1−λ) y∈ A y λx+ (1−λ) y∈ B. puesto que x, y ∈ A ∩ B, sabemos que x ∈ A,x ∈ B, y ∈ A, ∈ B. dado que A es convexo, y dado que x,y ∈ A, concluimos que:
λx + (1−λ) y∈ A.del mismo modo se puede argumentar que λx + (1−λ) y∈ B. por lo tanto,

λx + (1−λ)y ∈ A ∩ B
los otros dos inicios quedan como ejercicios para el lector.
Definición 10.1.3 sea X ⊂ Rn un conjunto convexo. f: X →R es una función convexa si para todos  x1 = x2 ∈ X y λ ∈ (0,1) se tiene
f ( λx1+ (1−λ)x2) ≤ λf (x1) + (1−λ) f (x2)

si la desigualdad es estricta se dice que la función esestrictamente convexa.
En la primera gráfica de la figura 10.2 se muestra una función cóncava que no es estrictamente cóncava; esto se debe a la parte “plana” de la gráfica. También se muestran las gráficas de funciones estrictamente cóncavas y convexas. Notamos que la definición nos dice que el segmento que une los puntos

(x1,f (x1)) y  (x2,f (x2))

está por debajo de la gráfica de la función si ésta escóncava y por encima si es convexa.












* Estrictamente convexa

Figura 10.2: Ejemplos de función cóncava, estrictamente cóncava y estrictamente convexa.

Definición 10.1.5 Sea X ⊂ Rn y f :X →R una función.

a) La gráfica de f es el conjunto Gf  ={ (x,r) ∈ X × R : f (x) =r}.

b) El epígrafo de f es el conjunto Ef ={ (x,r) ∈X × R : f (x)≤r}.

c) El hipógrafo de f  es el conjunto H f ={ (x,r) ∈ X × R : f (x)≥r}

Teorema 10.1.6
Sean X ⊂ Rn un conjunto convexo

a) Una función f : X  →Res convexa si y sólo si Ef  es un conjunto convexo de R n+1.

b) Una función f : X  →Res cóncava si y sólo si Hf  es un conjunto convexo de R n+1.

Proposición 10.1.7 SeaX ⊂Rnun conjunto convexo.Seanf :X →Ry g:X →R dos funciones cóncavas y α∈R

a) Si α <0,entonces α f es convexa

Proposición 10.1.7

Sea X  ⊂ Rn un conjunto convexo. Sean f : X → R y  g: X →R dos funciones cóncavas y α ∈ R.

Teorema 10.1.8

Sea X ⊂ R n un conjunto convexo. Suponer que f ∈ C1 (X ). Entonces
 
a) f es convexa si y sólo si para todo x,y ∈ X, f (y) ≥ f ( x) + (y−x)t ∇ f (x).

b) f es...