oscilacion

Vamos a generalizar los resultados anteriores para investigar el movimiento de un sistema formado por muchas pequeñas masas unidas por resortes. Esta cadena de muchas cuentas es una versión simplificada de una cuerda de guitarra o violín, y por lo tanto, es de mucho interés para el estudio de la acústica y de la física de la música.
Podemos imaginar a una cuerda flexible como una cadena decuentas muy próximas entre sí unidas por cintas perfectamente elásticas que no presentan ninguna resistencia a la flexión. Esta cuerda flexible es el descendiente directo de la cadena de tuercas y bandas elásticas que estudiamos en las secciones anteriores.
Si partimos de un sistema N partículas de masa m unidas por cintas elásticas de longitud a, podemos pasar al límite continuo haciendo tendera infinito el número de masas, a cero el espaciamiento a entre las masas y manteniendo L =(N+1)a constante (L es la longitud del sistema). En este paso al límite, también disminuye la masa de cada partícula de modo que la masa total, M = Nm, permanezca también constante.
Es conveniente pensar este paso al límite continuo de manera un poco diferente. En lugar de hacer tender a cero elespaciamiento a, manteniendo la alternancia entre las cintas sin masas y las masas, podemos distribuir uniformemente la masa a lo largo de las cintas. No hay más entonces masas localizadas y cintas sin masa sino una cuerda larga con una masa distribuida en toda su longitud.
En la sección anterior hemos visto que la frecuencia de oscilación del n-ésimo modo de un sistema de N partículas viene dada poren donde .
Si n se mantiene acotado y N se hace muy grande, podemos poner

Por consiguiente,

pero (N+1)a = L es la longitud total de la cuerda y m/a es la masa por unidad de longitud (densidad lineal) que llamaremos . Así pues, obtenemos finalmente para la frecuencia natural de la cuerda continua la siguiente expresión:
(n = 1,2,3, .... )(1)
En la práctica se utiliza la frecuencia f (en Hz) en lugar de  (radián/s). Como la relación entre ambas frecuencias es  = 2f, tenemos que
(2)
¿Cómo es el desplazamiento de las partículas en cada uno de los modos? En la sección anterior hemos visto que en un sistema de N partículas en el modo n eldesplazamiento de la partícula p es

En lugar de llamar a la partícula por su número p, podemos especificar su distancia x desde el extremo fijo izquierdo de la cuerda. Esto es hacemos
x = pa
De modo que

En lugar de pn podemos escribir n(x,t), con lo cual queremos significar el desplazamiento  en el instante t de la partícula situada en x, cuando la cuerda está vibrando en el modo n.Así pues,
(n = 1,2,3, .... ) (2)
Cuando N se hace muy grande, los valores de x, que sitúan a las partículas, están cada vez más cerca unos de otros y x puede considerarse como una variable continua que va de 0 a L.
A cada modo se le puede asignar una fase diferente n, de modo que la expresión general para los desplazamientos transversales se expresade la forma:
(3)
En la Fig. 2 se muestra una cuerda tensa, de longitud L que está fija en sus dos extremos. En la misma Fig. se muestran las formas vibracionales de los tres primeros modos de oscilación de la cuerda.
La frecuencia de oscilación del modo 1, viene dada por:
, (4)
donde L es la longitud, T la tensión y  la masa por unidad delongitud de la cuerda.
A la frecuencia del modo 1 se la llama frecuencia fundamental de la cuerda. Las frecuencias de los otros modos son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental (ver ecuación 2) y se las llama armónicos superiores de f1. La frecuencia el primer armónico (n=1) es idéntica a la frecuencia fundamental, la del segundo armónico es el doble de la frecuencia fundamental (la...