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Universidad Sim´on Bol´ıvar

3.

Introducci´on al MEF

M´
etodo de Rayleigh-Ritz

La soluci´on del problema de elasticidad consiste en encontrar la funci´on desplazamiento u valida para todo el dominio Ω y que verifique las condiciones de
contorno.
El m´etodo de Rayleigh-Ritz propone una soluci´on aproximada para resolver
el problema de elasticidad en su formulaci´on energ´etica. Lasoluci´on aproximada
est´a basada en el m´etodo de separaci´on de variables (i.e. la componente espacial
es independiente de la componente temporal) y en la idea de que una funci´on
continua puede ser expresada como combinaci´on lineal de un n´
umero grande de
funciones, i.e.:
m

u(x,t) ≈

φj (x) qj (t) = Φ(x) q(t)

(3.1)

j=1

Las funciones φj (x) son llamadas funciones de Ritz ydeben cumplir con las siguientes condiciones:
Deben verificar las condiciones de borde esenciales o de desplazamiento para
toda la frontera Γ del s´olido.
Deben ser continuas y diferenciables para todo el dominio Ω y de un orden
igual o superior al de los operadores diferenciales presentes en las ecuaciones.
Si el n´
umero m de funciones de Ritz tiende a infinito la soluci´on aproximadatiende
a la soluci´on exacta.
La matriz Φ en el caso mas general tiene dimensi´on 3 × m y el vector q tiene
dimensi´on m.

3.1.

Energ´ıa interna de deformaci´
on (matriz de rigidez)

Introduciendo la aproximaci´on de Rayleigh-Ritz en la energ´ıa interna de deformaci´on U , tenemos:
U=

1
2

uT LT D Lu dV =
Ω

1
2

Ω

qT(t) ΦT(x) LT D LΦ(x) q(t) dV

(3.2)

Definiendo lamatriz B como el resultado de la aplicaci´on del operador diferencial
a la matriz de funciones de Rits, i.e.:
B(x) = LΦ(x)

Euro Casanova, 2005

(3.3)

14

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Introducci´on al MEF

El vector de deformaciones toma la forma:
= B(x) q(t)

(3.4)

El vector de esfuerzos toma la forma:
σ = DB(x) q(t)

(3.5)

La energ´ıa interna de deformaci´on U toma laforma:
U=

1
2

Ω

qT(t) BT(x) D B(x) q(t) dV

(3.6)

De esta ultima expresi´on es evidente que el vector de coeficientes q(t) puede salir
del integral, puesto que no depende de las coordenadas espaciales, entonces:
1 T
q K q(t)
2 (t)
Donde K se denomina la matriz de rigidez global y se calcula como:
U=

K=
Ω

BT(x) D B(x) dV

(3.7)

(3.8)

Esta matriz es de dimensi´on m× m y resulta ser sim´etrica, i.e. K = KT .

3.2.

Energ´ıa cin´
etica (matriz de masa)

A partir de la aproximaci´on de Rayleigh-Ritz es posible calcular la funci´on
velocidad u˙ como:
d
u˙ ≈
Φ(x) q(t) = Φ(x) q˙ (t)
(3.9)
dt
Introduciendo esta aproximaci´on en la energ´ıa cin´etica T , tenemos:
T =

1
2

ρ u˙ T u˙ dV =
Ω

1
2

Ω

ρ q˙ T(t) ΦT(x) Φ(x) q˙ (t) dV

(3.10)En esta expresi´on es evidente que el vector de coeficientes q˙ (t) puede salir del
integral, entonces:
1
(3.11)
T = q˙ T(t) M q˙ (t)
2
Donde M se denomina la matriz de masa global y se calcula como:
M=
Ω

ρ ΦT(x) Φ(x) dV

(3.12)

Esta matriz es de dimensi´on m × m y resulta ser sim´etrica, i.e. M = MT .

Euro Casanova, 2005

15

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3.3.Introducci´on al MEF

Trabajo de la fuerzas conservativas (vector de fuerza)

Introduciendo la aproximaci´on de Rayleigh-Ritz en la expresi´on para el trabajo
de las fuerzas conservativas externas W E(C) y notando que ui = Φ(xi ) q(t) , tenemos:
W C(E) =

uT g dV +
Ω

=
Ω

=

uT t dS +
Γ

uTi pi
i

qT(t) ΦT(x) g(x,t) dV +

Γ

qT(t) ΦT(xi ) pi(t)

qT(t) ΦT(x) t(x,t) dS +
iqT(t) f(t)

Donde f(t) se denomina el vector de fuerzas global y se calcula como:
f(t) =

Ω

ΦT(x) g(x,t) dV +

Γ

ΦT(x) t(x,t) dS +

ΦT(xi ) pi(t)

(3.13)

i

Este vector es de dimensi´on m.

3.4.

Ecuaciones de movimiento

Tomando en cuenta los resultados expuestos mas arriba, la energ´ıa potencial
total y la energ´ıa cin´etica toman las siguientes formas...