P2 Hidrostatica Rotacion Solucion

Mec´anica de Fluidos
Problema rotaci´
on de masas l´ıquidas

Se tiene un contenedor cerrado formado por dos cil´ındros conc´entricos de radios R1 y R2 respectivamente, R1 < R2 , y
de altura H. El volumen del contenedor cil´ındrico es por lo tanto Vc = π(R22 − R12 )H. Dentro de este contenedor se tiene un
volumen de l´ıquido Vl < Vc de densidad ρ. El resto del espacio interior del contenedor est´aformado por un gas a una presi´
on
pg . Al no variar el volumen de l´ıquido por ser su densidad constante, tampoco lo har´a el volumen de gas Vg = Vc − Vl , y
por lo tanto suponiendo temperatura constante, tampoco variar´a la presi´on del gas, que se mantiene constante para todo el
problema. El recipiente est´
a sujeto de forma que el eje de los cil´ındros es vertical. Sobre el sistema act´
ua lagravedad seg´
un
esa direcci´
on vertical, g = −g k.
1. Hallar la altura de l´ıquido h en funci´
on de las magnitudes conocidas.
El volumen de l´ıquido ocupar´
a todo el fondo, por lo que el ´area de la base ser´a igual, π(R22 − R12 ). El volumen de l´ıquido
ser´
a por lo tanto: Vl = π(R22 − R12 )h y despejando:
Vl
π(R22 − R12 )

h=

Tambi´en se podr´ıa haber integrado el volumen de l´ıquido:
R22π

h

dzrdθdr = π(R22 − R12 )h

Vl =
R1

0

0

2. Calcular la presi´
on p(r, θ, z) en el l´ıquido en func´ıon de las magnitudes conocidas.
Se parte de la equaci´
on de equilibrio de fuerzas:
∇p − ρfm = 0
Donde fm = g en el caso de que el sistema de referencia sea fijo y est´e actuando la gravedad. Esta ecuaci´on para l´ıquidos en
los que las fuerzas m´
asicas deriven de un potencial U (fm = −∇U) se puede escribir como:
p + ρU = C
En este caso U = gz y queda:
p(z) = C − ρgz
Sabemos que en z = h, la entrefase entre l´ıquido y gas, p = pg , con lo que podemos calcular C:
pg = C − ρgh ⇒ C = pg + ρgh = pg + ρg
De esta forma:

Vl
π(R22 − R12 )

Vl
−z
− R12 )

p(z) = pg + ρg

π(R22

3. Calcular la fuerza que el l´ıquido y el gas interior ejercen sobre cada una de las 4 caras del contenedor porseparado.
La fuerza que una superficie s´
olida ejerce sobre un fluido viene dada por:
Fsl = −

p(r, θ, z)ndA
Σ

1

Donde Σ es la superficie, n es la normal exterior al volumen fluido y dA es el ´area diferencial sobre la que estamos integrando.
De esta forma la fuerza del l´ıquido sobre la superficie queda:
Fls =

p(r, θ, z)ndA
Σ

Donde la normal es la misma de la ecuaci´
on anterior. Vamos allamar Σ1 al cilindro interior r = R1 , Σ2 al cilindro exterior
r = R2 , Σ3 a la superficie inferior del contenedor z = 0 y Σ4 a la superior z = H, :
z=h

θ=2π

Fls1 =

p(z)(− cos(θ)ı − sin(θ))dzR1 dθ

p(r, θ, z)ndA =
z=0

θ=0

Σ1

z=h

✿ 1 ✘✘
✿ 0 ✘✘
✿1
✘
✿ 0− (cos(2π)
✘
✘✘
✘✘✘
Fls1 = −R1 [(✘
sin(2π)
−✘
sin(0))ı
−✘
cos(0))]
✘✘
z=h

θ=2π

Fls2 =

p(z)(cos(θ)ı + sin(θ))dzR2 dθ

p(r, θ, z)ndA =θ=0

Σ2

z=0

✿ 1 ✘✘
✿ 0 ✘✘
✿1
✘
✿ 0− (cos(2π)
✘
✘✘
✘✘✘
Fls2 = R2 [(✘
sin(2π)
−✘
sin(0))ı
−✘
cos(0))]
✘✘
r=R2

Fls3 =

z=h

[pg + ρg(h − z)]dz = 0
z=0

θ=2π

r=R2

θ=2π

p(z = 0)(−k)rdθdr = −k

p(r, θ, z)ndA =
Σ3

[pg + ρg(h − z)]dz = 0
z=0

r=R1

θ=0

(pg + ρgh)rdθdr
r=R1

θ=0

r=R2

2πrdr = − π R22 − R12 pg + ρgVl k

Fls3 = −(pg + ρgh)k
r=R1

θ=2π

r=R2

Fls4 =

p(r, θ, z)ndA =
Σ4

r=R1

θ=0

✘
✘✘H)
p(z✘=
krdθdr = 0
✘

Nota, se han calculado las fuerzas que el l´ıquido hace sobre las superficies internas del contenedor y no las del gas, por lo
que en las superficies donde hay s´
olo gas, la presi´on del l´ıquido se ha tomado como nula.
4. Calcular la fuerza por unidad de longitud sobre cada una de las generatrices de los cilindros interior y exterior.
Estas fuerzas se calculan a trav´es deintegrales similares a las usadas para calcular Fls1 y Fls2 , pero sin integrar en θ, ya
que se quiere la fuerza por unidad de longitud. Se llaman fls1 y fls2 a las fuerzas por unidad de longitud sobre las generatrices
interior y exterior respectivamente. A las generatrices interior y exterior se las ha llamado l1 y l2 respectivamente. Tambi´en
se hace uso del vector unitario er = cos(θ)ı +...