P2

LABORATORIO DE ESTADO SÓLIDO Y SEMICONDUCTORES

2.1

PRÁCTICA No 2
SIMULACIÓN DE LA DIFRACCIÓN DE RAYOS X

1. INTRODUCCIÓN
Dado que las longitudes de onda de los rayos X son del mismo orden que las distancias
interatómicas, cuando dichos rayos interactúan con sólidos cristalinos se produce un fenómeno de
difracción que nos permite estudiar su estructura.

1.1 Formulación de Bragg.
En 1913 Braggobservó que los sólidos cristalinos difractaban los rayos X produciendo unos
diagramas caracterizados por picos muy intensos en direcciones determinadas. Para interpretar este
fenómeno, Bragg supuso que el cristal estaba formado por planos paralelos de átomos espaciados
una distancia d, en los que se producía una reflexión especular de los rayos X. La diferencia de
camino óptico entre dos rayosreflejados por planos contiguos será 2 d senθ. Cuando dicha
diferencia valga un número entero de veces la songitud de onda, la interferencia será constructiva y
aparecerá un pico. La condición es, pues:
2 d senθ = n λ.

θ

[2.1]

2θ
Figura 1 : Modelo de Bragg

1.2 Formulación de Von Laue.
Von Laue elimina la hipótesis de la reflexión especular y supone
que los electrones de cada átomo del cristal, alverse sometidos a la
radiación X, se convierten en emisores de ondas de la misma
frecuencia en todas las direcciones; es decir, cada átomo dispersa
los rayos X. Habrá direcciones en los que los rayos dispersados
estén en fase, produciéndose interferencia constructiva y
apareciendo un pico. Imaginemos dos átomos distintos (figura 2).
Sea n el vector unitario en la dirección incidente y n´ elvector
unitario en la dirección correspondiente a un pico de difracción.
Evidentemente:

Figura 2.2

k

k'

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2.2

r 2π r r 2π r
k=
n k′=
n′
λ
λ
la condición para que la interferencia sea constructiva es, en este caso:
d cos θ + d cos δ = m λ
r r r r
n ⋅ d − n ′⋅ d = m λ

o lo que es lo mismo:

(

2π r 2π r r
n−
n ′) ⋅ d = 2πm
λ
λ
r r r
(k − k ′) ⋅ d =2πm

[2.2]

Si consideramos el conjunto de todos los átomos, el vector d tomará como valores todos los
vectores de la red directa R, de modo que, para que haya interferencia constructiva debe cumplirse,
para todo R, (k - k')⋅R = 2πm, o lo que es lo mismo, k - k' debe ser un vector de la red recíproca.
Dado que existe una correspondencia biunívoca entre vectores de la red recíproca y familias de
planoscristalinos, ambas formulaciones son equivalentes.
1.3 Esfera de Ewald

Existe una construcción geométrica (la esfera de Ewald) que permite predecir qué picos de
difracción aparecerán para un cristal dado y una radiación dada. Se representa la red recíproca, se
traza a partir del origen el vector de ondas k de la radiación incidente. Desde su extremo se traza
una esfera de radio igual a sumódulo. Si dicha esfera contiene un punto K de la red recíproca se
producirá un pico en la dirección k'= k - K.
Naturalmente para una radiación arbitraria y una dirección arbitraria es poco probable que se
cumpla dicha condición pero esta construcción sugiere varios métodos para conseguir que se
cumpla.
Así, en el método del cristal rotatorio se utiliza radiación monocromática, pero se hace variar elángulo de incidencia, haciendo que el cristal gire sobre sí mismo según un eje determinado. En la
construcción de Ewald, se hace girar la red recíproca en torno a un eje que pase por el origen. Es
fácil ver que aparecerán los picos correspondientes a aquellos puntos cuya circunferencia de giro
intersecta la esfera de Ewald . Aparecerán, evidentemente, dos picos por cada punto y habrá
puntosequivalentes que producirán la difracción en la misma dirección.
En el método de Debye-Scherrer se utiliza una muestra pulverizada. El haz y la muestra se
mantienen fijos pero en ésta los cristales están orientados al azar. En este caso, al hacer la
construción de Ewald, cada punto de la red recíproca originará una esfera centrada en el origen. Se
observarán difracciones correspondientes a los vectores...