Paladin Lv 80

Matemática III  Ciclo 02/2012 

 

 

DIFERENCIACIÓN IMPLICITA PARA UN CONJUNTO DE FUNCIONES  MULTIVARIABLES   
Jacobianos. 
Llamamos Jacobiano de un conjunto de m funciones con respecto a n argumentos, donde  n  ≥  m, al determinante formado  por las primeras derivadas parciales  de la función con  respecto a las  m variables seleccionadas.   Por ejemplo si se tienen tres funciones U, V y W, las cuales dependen de cuatro variables   x, y, z, t, pueden tenerse los siguientes Jacobianos:   

Ux ⎡U , V , W ⎤ J⎢ ⎥ = Vx ⎣ x, y , z ⎦ W x

Uy Vy Wy

Uy ⎡U , V , W ⎤ = Vy V z   ,   J ⎢ y, z , t ⎥ ⎣ ⎦ W Wz y
Uz

Uz Vz Wz

Ut Vt , o cualquier otra  Wt

combinación en la que las tres funciones U, V y W se derivan parcialmente respecto a tres  variables elegidas de las 4 que hay.  El orden del determinante dependerá del número de funciones y  no de las variables, pues  número de variables puede ser mayor o igual que el número de ecuaciones.   

Diferenciación  implícita para un conjunto  de funciones multivariables 
  Supóngase que se tienen tres funciones F, G y H, las cuales dependen de cinco variables (pueden ser más o menos, siempre que no sean menos del numero de funciones en este  caso 3)  x, y, z, u, v.  Dado este conjunto de funciones implícitas se podrá seleccionar un número de variables  dependientes igual al número de funciones que participan. La elección de estas variables  se hará de acuerdo a las derivadas parciales que se desean encontrar.  En general en un conjunto de  m funciones implícitas con   n  variables, siempre se podrá  seleccionar  m  variables dependientes  en  función  de  las  m  ‐  n  variables  restantes,  no  olvidar que  n ≥ m. 

 
Si del conjunto de 3 funciones F, G y H, se hace la siguiente elección:    Variables Variables = { x, y, z }                        = {U ,V }  Dependientes Independientes   Ante este modelo de tres funciones con 5 variables (3 VD y 2VI) el problema consiste en hallar las derivadas parciales pertinentes a la selección de variables dependientes a través  de las funciones implícitas.    1

Matemática III  Ciclo 02/2012 

 

 

La solución a la problemática planteada se obtiene a partir de los jacobianos, y se deduce  de la siguiente manera:  F ( x, y , z , u , v ) = 0 Como :  G ( x, y, z, u, v) = 0   , procedemos a encontrar sus diferenciales, los cuales también  H ( x, y , z , u , v ) = 0deben igualarse a cero , ya que las funciones F , G y H están igualadas a cero:   

dF = Fx dx + Fy dy + Fz dz + Fu du + Fv dv = 0 dG = G x dx + G y dy + G z dz + Gu du + Gv dv = 0   dH = H x dx + H y dy + H z dz + H u du + H v dv = 0
Donde las derivadas parciales existen en el dominio común de las funciones.  Aislando los diferenciales de las V. D. de los diferenciales de las V. I.:   

dF = Fx dx + Fydy + Fz dz = − Fu du − Fv dv dG = Gx dx + G y dy + G z dz = −Gu du − Gv dv   dH = H x dx + H y dy + H z dz = − H u du − H v dv
  Separando de forma matricial como un sistema de ecuaciones lineales:  ⎡ Fx Fy Fz ⎤ ⎡dx ⎤ ⎡ − Fu du − Fv dv ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ G x G y G z ⎥ * ⎢dy ⎥ = ⎢ − Gu du − Gv dv ⎥   ⎢ H x H y H z ⎥ ⎢ dz ⎥ ⎢− H u du − H v dv ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

Fx Donde distinguiremos:   D = G x Hx

FyGy Hy

Fz ⎡ F , G, H ⎤ Gz = J ⎢ ⎥  ⎣ x, y , z ⎦ Hz

Aplicando el método de Cramer para resolución de un S.E.L. al despejar los diferenciales  de las VD quedan:    Para “x”   − Fu du − Fv dv Fy Fz − Fu du − Fv dv Fy Fz − Gu du − Gv dv G y G z − Gu du − Gv dv G y G z − H u d u − H v dv H y H z − H u d u − H v dv H y H z = dx =   ⎡ F , G, H ⎤ Fx Fy Fz J⎢ ⎥ Gx G y Gz ⎣ x, y , z ⎦ Hx Hy Hz  En este caso puede hallarse las siguientes derivas parciales: 

∂x ∂x ∧ .  ∂u ∂v

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Matemática III  Ciclo 02/2012  Si se calcula la derivada parcial 

 

 

∂x , entonces la variable “v” permanece constante por lo  ∂u

que  dv = 0, quedando:    − Fu du Fy Fz Fu Fy Fz − du Gu G y G z − Gu du G y G z ⎡ F , G, H ⎤ − du J ⎢ ⎥ − Hu du H y H z Hu H y H z ⎣ u,...