paralelismo

vEn geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son parelelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante.
En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantesentre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En elplano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta(son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.
Índice
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1 Rectas paralelas
1.1 Notación
1.2 Axioma de unicidad
1.3 Propiedades
1.4 Teoremas
2 Véase también
3 Referencias
Rectas paralelas[editar · editar código]
Lasrectas a, b del plano P son paralelas, si son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse, o por traslación se les puede hacer coincidir.
Notación[editar · editar código]
Dado el conjunto R de las rectas en el plano, diremos que dos rectas a, b de R son paralelas y lo notaremos:

Siendo correcta la notación:

Axioma de unicidad[editar · editar código]
El axioma quedistingue a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente:
En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.
Propiedades[editar · editar código]
Artículo principal: Relación de equivalencia.
Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:
Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella esparalela a la primera:

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.
Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.
Teoremas[editar · editar código]
En un plano, dosrectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).
Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad. En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos ydemás). En el plano cartesiano dos rectas son parelelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante.
En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial,se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio...