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Aplicaciones de Áreas de regiones
1.1 El área bajo una curva
Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:  
 
1. Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos. 
2. En cada subintervalo escogemos un valorespecial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo. 
3. Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces: 
n


[ f(x*)(x)]
k=1

       A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann. 
Definimos el área bajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemanncuando n tiende a Infinito.
 
   Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n-->, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.
 
f(x)= x2 + 1  

5-1

 4 
 x= 

 = 


n

n
   
x0= 
1


x1= 
1 + x  = 
1+
 4 







n




x2= 
1 + 2x =
1 + 2(
4
)








n


(...)






4

xk=
1 +kx =
1 + k(

)



n

      Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que    

4k
xk* = xk = 1+ 


n
   



4k

1 + (1 + 
4k
)2
f(xk*) = 
f(
1 + 

) = 






n


n










[

4k

](4/n)


f(xk*) x =

1 +(1+

)2






n




 
Desarrollando la expresión anterior, nos queda:   

8(17n2 + 18n + 4)
La suma de Riemann = 


3n2








136

48

32

La suma de Riemann = 

 +  + 



3

n

3n2









136

Area = Límite de la suma de Riemann = 



3

 

Vimos antes algunos ejemplos de antiderivadas. En ellos encontramos que la antiderivada de 2x es x2+c, la de 3x2 es x3+c, y la de 2x + 5 es x2+5x+c. Aplicaremos ahora a estos resultados lo que sabemos ya del Teorema Fundamental del Cálculo, en términos de calcular áreas bajo las gráficas de las funciones 2x,  3x2 y 2x + 5dentro de determinados intervalos. También calcularemos una más, que es cos(x). Recuerda que las áreas se miden en unidades cuadradas (u2), por lo que es necesario indicar así el resultado.
 
 
 
Ten presente que las funciones en sí son modelos de diversas situaciones, y estas no son la excepción. Más adelante veremos funciones que modelan ciertas situaciones muy particulares, pero por el momentoel interés está en que ejercites los procesos algorítmicos y de mecanización.
 
 
 
1. Para 2x, hallar el área bajo la curva de 4 a 10:
 
2. Para 3x2, hallar el área bajo la curva desde cero hasta cinco:

3. Para 2x + 5, hallar el área bajo la curva entre 10 y 20:

4. Para cos(x), hallar el área bajo la curva de cero a :
Sabemos que la derivada de sen(x) es cos(x), por lo que la integral decos(x) será sen(x). Así,
1.2 ÁREAS ENTRE CURVAS

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones y , las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica esta debajo de la grafica , se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las graficas, es decir restar el área de la funcion alárea de la función , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos.
Definición

Si y son continuas en [a,b] y ≤ para todo x en [a,b], entonces el area de la región acotada por las graficas y y las rectas verticales y es



Área de una región entre dos curvas que se intersecan
Se utiliza el mismo método, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que como intervalos seutilizan los puntos donde se intersecan las graficas. Hay veces que las graficas se intersecan mas de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones, sin importar que grafica pase arriba o abajo, ya que para eso solo se utiliza la misma lógica de ≤ o ≤ y de esa forma se tendrá los 3 intervalos, uno para [a,b] y otra para [b,c].




Si la grafica de una función de y es una frontera de una...